I. D'après la formule

le périmètre 'îlp doit être un nombre ];«/>•; donc les nombres entiers a, b ,c doivent èire pairs ; ou bien l'un doit être pair, les deux autres étant impairs.

Soient

d'où

a + (3 = în (3) , T = /)a(3 {p — 2» ) (4).

La dernière équation donne

en supposant

ainsi ?i^ + — est un carré. D'ailleurs , en vertu des équations (3) et (6), 71- — y doit aussi être un carré. La question est donc ramenée à la résolution, en nombres entiers, des deux équations

Si l'on prend arbitrairement n et x, l'équation (7) donnera pour y une valeur entière , après quoi l'on trouvera T et ?/ au moyen de l'équation (8), si toutefois cette équation admet des solutions entières.

IL Si y contient un facteur carré 1^, T doit être divisible par A, et l'équation (8) se simplifie immédiatement, sans changer de forme. Supposons donc que y ne renferme aucun facteur carré; alors ï doit être divisible par y; ainsi

puis

if — yz' = 7i-- (10).

III. Si cette équation (10) admet un système de valeurs entières ,

on aura

T = Cy , rc = |/n' — y = A, iî; = M+B, a = »+A, (3=w — A,

et enfin

lY. Prenons, par exemple ,

Il résulte , de ces valeurs , y = 273; en sorte que l'équation (dO) devient

En supposant

on réduit l'équation (13) à

Au moyen des Tables de Legendre (*), on trouve que cette dernière relation est vérifiée pour

yt = 727, v' = 44 ; (*) Théorie des Nombres, tome I , table X.

- .'lO -

y = B = 12 359, X = C - 748; puis