XIII. Véquation

on

est impossible en nombres entiers, excepté dans le cas de n ~ 3, X =1.

(*) On ne compte pas la solution insignifiante : a' — 1, ?/ = o. La même restriction subsiste pour quelques-uns des énoncés suivants.

DIÎM0N5TRAT10N d'UN THÉORÈME RELATIF A LA THÉORIE DES NOMBRES. (PAR M. ilOUSEL.)

Deux nomhres entiers consécutifs , autres que ^ et 'd , ne peuvent être des jmissances exactes.

I. Cette proposition, énoncée depuis longtemps par M. Catalan , consiste en ce que l'équation

fl" = b"' - 1 (1),

vérifiée pour a = 2, /; = 3, ?î = 3, w = 2, ne peut l'être pour aucun autre système de valeurs entières et positives. Il est bien entendu que l'on exclut les cas où un de ces quatre nombres serait égal à zéro ou à l'unité.

Pour démontrer ce théorème , nous devons chercher quelles relations peuvent s'établir entre ces nombres a, b, m, n d'après la nécessité à laquelle ils sont soumis d'ôlre entiers et positifs, condition qu'il faut joindre à l'équation ( 1). En appliquant cette condition, l'on sera conduit à une égalité qui remplacera cette équation (i), autant que cela sera nécessaire , puisqu'elle en admettra toutes les solutions entières et positives : elle devra donc , en particulier , être vérifiée par les quatre nombres indiqués. S'il en arrive autrement pour une égalité à laquelle nous aurons été conduits, il faudra par conséquent la rejeter comme ne pouvant représenter l'équation (1); c'est que nous aurons été entraînés hors de la question par une hypothèse faite provisoirement et qu'il faudra dès lors abandonner.

Enfin nous pourrons toujours supposer que m et n sont premiers. Si l'on avait, par exemple, m = m' ni", on poserait

et l'on prendrait /?' = b"^' pour point de départ, au lieu de h.

IL Soit

l'équation (i) devient

Soit a le plus grand commun diviseur qui existe nécessairement entre a et B , nous poserons

a = art', B = aB',

de sorte que a^ et B' sont premiers entre eux. Nous aurons , en divisant par « ,

a"- 1 . a''^ - mB' + "'^"'~^^ aB'^ . . . + a"*"^ B'»^ (3).

Comme le terme wB' doit être divisible par a. , ainsi que tous les autres termes de cette équation, il arrivera de deux choses l'une : le nombre m , que nous avons supposé être premier (n° 1), sera égal à ^- (hypothèse que nous écarterons pour le moment) , ou bien sera premier avec «; dans ce cas, B' sera divisible para. Nous poserons

le nombre P n'étant plus divisible par a.

D'après cela , si nous remplaçons B par a "^ \ p dans l'équation (2) où (i^ = a" . «'", et si nous divisons de part et d'autre par ^ "^ \ il en résulte

ÎII. Observons d'abord qu'il est impossibled'avoir/i<G + l. S'il en était ainsi, il faudrait, pour empêcher que le second membre, qui est entier, fut égalé à un premier membre fractionnaire, que a'* fît disparaître « en dénominateur ; mais il

n'en serait pas moins évident que le premier membre n'aurait d'autres facteurs premiers que ceux de a'. Donc ce premier membre ne pourrait être, comme l'est le second, divisible par P, puisque a' est premier avec B' et par suite avec P.

Il est important de remarquer que ce résultat subsiste, même si l'on admet P = 1. En effet, puisque B', qui devient

alors égal à «^ est premier avec a', on voit que a'^ ne peut faire disparaître a en dénominateur.

IV. Si l'on admet n = 5 + i, le premier membie de l'équation (4) se réduisant à a" et devant être , comme le second , divisible par P qui est premier avec a', on aura

Alors

et l'on trouve, à la place de l'équation (1), la nouvelle forme d'égalité

Mais ce n'est pas la forme cherchée. En effet, si l'on lâche d'identifier (n" I) le second membre de cette équation (5) avec la quantité 3' — 1, on obtient

or, dans cette égalité , comme 3 est évidemment le seul facteur premier de chaque terme, on a a" = 2, ce qui exige que l'on ait ?i = 1. Ainsi l'on tombe sur un des cas d'exclusion déjà indiqués (n" I), c'est-à-dire que l'équation (5) ne peut remplacer l'équation (1).

V. Il nous reste à supposer ?^ > 0 + 1. Alors le premier membre de l'équation (4) étant encore divisible par a, il faudra qu'il en soit de même pour wP , comme pour tous les autres termes du second membre. Mais si l'on continuait à admettre que vi ne fût pas égal à a , il faudrait que a divisât

P, ce qui est contre l'hypothèse (n° II). On est donc conduit à poser « = m, et l'équation (4) devient, après qu'on Ta encore divisée par c = m,

Seulement il faut, en général, s'arrêter là, c'est-à-dire poser

En effet, si le nombre m divisait encore le premier membre, il devrait aussi diviser P, puisqu'il divise déjà tous les autres termes du second membre , dont les puissances croissent à partir de m'^\ or, cela est contre l'hypothèse, puisque &. = m ne divise jamais P (n" II). (Cependant ce raisonnement serait en défaut si l'on avait 0 = 0).

Du reste, cette valeur n — (} + ^ réduisant à «''* le premier membre de l'équation (6), on voit que le facteur P qui divise le second membre et qui est premier avec w ne pourrait diviser le premier membre. On est donc obligé de poser P = i , et il reste

VI. Nous avons été ramenés à l'hypothèse ^ = m que nous avions laissée de côté (n" II). Pour ne rien négliger , nous allons l'introduire directement dans l'équation (3), qui deviendra, en divisant par m.

En répétant les raisonnements que nous avons déjà faits (n"' III et IV) , BOUS verrons qu'il est impossible de supposer îî < 2, et que w = 2 donne B' = i, puisque B' devrait alors diviser a''K Par conséquent , B est alors égal à m , et l'on a

m^-a' = {i + my"' — i. (9).

Si l'on essaye sur celte égaillé le syslème connu 2'=3^~1, on pourra bien identifier les seconds membres en posant?«=2, mais la comparaison des premiers membres donnerait ft" = 2; donc l'équation (9) ne peut pas non plus représenter Téquation (1).

Quant à la supposition n > 2, elle laisse le premier membre de l'équation (8) divisible par m; il en est évidemment de môme pour le troisième terme du second membre et pour tous les termes suivants. Je dis que le deuxième terme

— -— rV" est aussi divisible par m , car ce nombre w ,

étant premier, est impair (à moins qu'on n'ait m ~ 2). Alors il faudra que le premier terme du second membre, B', soit divisible par m ; on posera donc

ce qui ramène l'équation (8) à l'équation (0), et par suite à l'équation (7) (sauf le cas où m = 2).