VII. Or cette dernière forme (7) a été trouvée en posant

ce qui donne

nû'.a''^ = (1 + m''-' )'"-!. (10).

En chercbant toujours à identifier l'égalité (10) avec 2'=3- — 1, on trouve par la comparaison des seconds membres

d'où

Mais la comparaison des premiers membres donnerait encore ft'2 = 2. Ainsi la forme (10) doit aussi être rcjclée.

VIII. Il semble que nous ayons épuisé inutilement toutes les bypotbèscs possibles. Cependant nous avons réservé

(n*' V) le cas où l'on aurait, avec « — m, la valeur particulière G = 0. Dans cette supposition , qui donne

B» = p , B = ?/iP,

l'équation (4) devient, après qu'on a encore divisé par y. = m,

m"-' . a'' = P + 'iii^l^ni^ P + . . . + m"'~' P^'* (11).

C'est un cas particulier de l'équation (8) quand on y remplace B' par P.

Aussi l'on reconnaîtra, comme au n" VI, que l'on doit avoir w > 2 : mais alors , en reprenant les raisonnements de ce numéro, on verra que le premier terme P du second membre n'étant pas divisible par « = m ( n" II ) , le deuxième terme

uï du 1)

• P- ne doit pas l'être non plus; nous sommes donc

forcés d'admettre que ~ n'est pas entier, c'est-à-dire que m est pair.

IX. Comme m est premier, nous aurons m = 2 , circonstance que nous avions laissée de côté (n" VI). Pour n'oublier aucune des combinaisons possibles , nous reprendrons cette hypothèse , qui consiste à poser îi > 2 et a = m = 2, avec toute la généralité dont elle est susceptible ; nous allons donc l'introduire directement dans l'équation (8), qui devient

Ici B', premier avec «'" ( n° II ) et divisant les deux membres , ne peut avoir d'autre facteur premier que 2; donc

B' = 2^ B-2^-*-^ ainsi l'équation primitive se réduit à

- iS - Celle dernière égalilé revient à

OU encore à

On a loujoiirs n>-0 + 2 , car «', premier avec B' = 2^, l'est aussi avec 2.

En général , le second membre 1 + 2^ n'est pas divisible par 2 (à moins qu'on n'ait G = 0); donc le premier membre n'est pas non plus divisible par 2; ce qui donne

et l'équation (13) devient

r.a"=(ï + r-'Y-i (li).

Pour voir si celle égalité peut enfin remplacer l'équation (1), on cherchera encore à l'identifier avec la relation 2' = 3" — d , ce qui donne , en comparant les seconds membres ,

La comparaison des premiers membres donne

Ainsi l'idcnlificalion est encore impossible.

Il faut donc prendre 0 = 0, ce qui nous ramène au n" VIII. Ici l'équation (13) se réduit à

ft*'= (l + 2)'-l = 8 (15).

Alors il est enfin possible d'identifier avec la relation 2' =3^—1; mais l'équation (15) revient évidemment à

2'^~^ft" — 1, ce qui exige que l'on ait )^ = 3 et ft =1. On est donc conduit nécessairement au système indiqué, qui est ainsi le seul possible.