IV. On tire, de l'équation
d(o = T— • dO . cos' w (4).
du^
Mais, si l'on désigne par dy l'élément de AMB , et par o le rayon de courbure MC , on a
rfc* = du* + u^ f/Q- , [j = ,^ , , ^ 7— r—v-
' dQ {dG- + du* — udHi)
Au moyen de ces valeurs , et à cause de
du*
COS» 0) = — - , da^
(*) Ce théorème aune grande analogie avec celui que j'ai donné en 1855, dans les Nouvelles Annales de Mathématiques [iovcie XV, p. 103). Ordinairement, on appelle tractoire une courbe dont la génération diflfère de celle qui est indiquée ici ; néanmoins j'ai conservé cette dénomination, pour n'avoir pas à créer un mot.
la formule (4) devient
d(^ = dQ—— (5).
Ainsi , r accroissement infiniment petit de « est égal à l'accroissement infiniment petit de l'angle 5, moins l'angle de contingence de la courbe AMB. Ce résultat est évident par la Géométrie.
V. Si l'on désigne par V l'angle MPS que fait la tangente PS avec le rayon vecteur w, on a
. .. udoi u / ,Q d(j\ iidi
P / pf/u '
ou
ou encore
tq V + tq(ù
p COS OJ
sin (V + w) u COS V p
Le second membre est égal à'\ \.^^ ; donc
sin(V + M) __ sin MCP cosV ~ sin MPC"
Cette proportion prouve que PS est perpendiculaire à CP. Ainsi la droite PC, qui joint le centre de courbure de la glissante A^IB au point décrivant P, est normale à la tractoire.
VI. Si la glissante est une développante de cercle, la tractoire est une perpendiculaire à TT'; si la glissante est une spirale logarithmique, la tractoire est une ligne droite, etc.
XYII. — THÉORÈME Sl'R LES SURFACES DÉVELOPPABLES (1843) (*).
Si l'on considère une courbe c tracée sur une surface développable, ainsi que la transformée C de c dans le développement de la surface; le rayon du cercle osculateur de la courbe primitive est égal au rayon du cercle osculateur de la courbe transformée, multiplié par le cosinus de l'angle que fait le plan osculateur de la première courbe, avec le plan tangent à la surface.
Prenons pour origine un point de la première courbe, pour axe des x la tangente en ce point , et pour plan des xg le plan tangent, en ce môme point, à la surface développable. Par suite de ces hypothèses :
dy = 0, dz = 0, p = -j^ = 0, q = -- = o, d^x = o, d::^ = dx, d^z = 0;
X étant la variable indépendante.
En appelant R le rayon de courbure de la transformée, on a, pour le point considéré,
dy
1 1^ R dx
ou
Soit £ l'angle de contingence : en général
donc, pour l'origine,
dxj \ ' dx^
(*) Publié dans les Comptes-Rendus , tome XVII. { •*) Calcul différentiel de Lacroix , tome l^r, p. 668.
OU
Par suite, le rayon de courbure a pour valeur
dx-
\/d-if + d'z*
11 est facile de voir que le plan osculateur de la courbe a pour équation
— Yd'z + Zd'-y = o;
donc, en appelant ;. l'inclinaison de ce plan sur le plan des œy,
cosA = ^^"^ (3).
Cela posé, les relations (1), (2), (3) donnent
p = R cos X (4).
Remarques. — {Décembre i8G5).
I. Si la courbée est tracée sur une surface quelconque S, on peut remplacer celle-ci par la développable 2, circonscrite à S suivant c. Au moyen de cette modification, le théorème devient beaucoup plus général (*).
