XVIII. — SUR LE TÉTRADÉCAGONE RÉGULIER

I. La construction au moyen de laquelle on établit le théorème relatif au côté du décagone régulier s'applique, jusqu'à un certain point, aux polygones réguliers de quatorze côtés, de dix-huit côtés, etc. Considérons , par exemple , le tétradécagone régulier. Soit AB le côté de ce polygone , OA étant le rayon du cercle circonscrit. En désignant par a l'angle au centre, et en prenant

l'angle droit pour unité, on a « = ^ ; donc

ABO = BAO= - = 3a. De là résulte que si l'on fait l'angle

OBG = a, on aura AGB = ABC = 2a; en sorte que le triangle ABC est isocèle* Soient maintenant

OC = BC = rK, AB = AG = ?/ , AO = BO = 1 :

les équations du problème sont

l = îxcosix {\), a; = 2î/ cos 2a (2), x -h y = i (3). Par suite ,

IL Cette équation (4) a deux racines positives et une racine

négative. Elle ne change pas quand on y remplace x pari .

Il s'ensuit que si c, b, a sont ces racines, rangées par ordre de grandeur décroissante, elles satisfont aux relations :

En même temps , à cause de l'équation (3) , les valeurs de y sont indifféremment représentées par

— do —

OU par

III. La racine &, comprise entre o et 1, est celle qui répond au problème. Elle donne, pour le côté y du tétradécagone, environ 0,445. Les deux autres racines de l'équation (4) correspondent aux tétradécagones réguliers étoiles, dont les angles

au centre sont y et — d'angle droit. On trouve aisément que

les systèmes d'équations relatifs à ces deux polygones sont, pour l'un :

X — îy cos Cf., y = 2 cos 2j: , x — y = \; et , pour l'autre :

1 = — 2a: cos 2a, y = 2 cos a, — x + \ — y.

Dans les deux cas, l'élimination de 2/ et de a fait retomber sur l'équation (4).