XIX. — SUR LA TOROÏDE

On appelle toroides les parallèles à rellipse , c'est-à-dire les courbes qui ont mômes normales qu'une ellipse donnée. Cette dénomination est fondée sur ce que la projection du contour apparent d'un tore, -sur un plan quelconque, est une tordide (**).

Pour trouver l'équation de cette courbe, il faut éliminer 0 entre les équations

ÎJ7i ~ ^' 10 a- n'-\'. "^ Cfl a- h'-\i ~ '^ ^ ^•

(9 + a-f (9 + b'f ' (9 + n'-f (9 + tf-)

(*) Note extraite des Nouvelles Annales, tome III , p. 553.

(**) Je crois que cette remarque est due à mon regrettable camarade de l'Ecole de Dessin et de l'Ecole polytechnique, Fleur Saint-Denis, si connu par les beaux travaux qu'il a exécutés au pont de Kehl.

(***) Cauchy, Comptes- Rendiis , tome XIII , p. 1062.

Cette élimination se fait assez simplement de la manière suivante.

Chassant les dénominateurs , on a d'abord :

a' (9 + b'f X' + l>' (9 + ay if = (9 + a')'- (9 + bj (1),

G- (G' + Irf x'- -h 0' (G + a'-) if = /t' (9 + a'f (9 + b'f (2).

Multipliant par 0', par a'; retranchant membre à membre, et supprimant le l'acteur (9 + ft')', j'obtiens

De même,

(ft' - b') 9^ X' - (9 + (l'-Y (9 — b' k'} (4).

Si l'on ajoute membre à membre les équations (3), (4), et si l'on supprime le facteur commun {a'- — b'), on trouve

B'- ix'- + tf) ^- 0-' {a' + /r + 29) + k' (9= — a' /r) (5).

Multiplions l'équation (3) par a', l'équation (4) par b\ ajoutons , et supprimons le facteur (rr — b') : il vient

9 {a'- if + b' X') = 9 in' b' — 0') + k' 0 {a' + /r) + 2a^ b' k' (6). Les équations (5), (6) peuvent être écrites ainsi :

9' + (rt^ If + /;- X' — a- k' - b'- k' — a' /r) G — 2^' /'- A:' = 0 (6').

J'élimine tour à tour, entre ces deux dernières équations, le terme en 9' et le terme indépendant ; je trouve ainsi :