AB 9C) 9 + 2 (B' + SAC
/^ Enfin , l'élimination de 0 , entre ces deux dernières équa-
tions, conduit à
(AB - 9Gr - 4 (A^ + 3B)(B' + SAC).
L'équation de la toroïde est donc
(a;* + y — le — b' — k'f {a' if + b^ x^ — a* le — b' k' — a' b^Y -+- ia'b'-k,-' {x' + 7f —a' — b' — h.y — i27 a* b'k' + 18fl'/>* k*{x^+y'- — a' — b'~k') (a'y' + b' a;*— a» A;* — b'k' — a'b'-) + i{a'y'+b'x'—a'k'—b'h^ — a'bj = 0. (H)
Addition. — [Juin 1866).
^\a = h, et que l'on fasse x- = if + u^ , l'équation (II) se réduit à
(«* — 2a^ - ky {iC- -a'- ^kj -hik' (m' — 2a' ~ ky +U'{u' — 2/c' - aj + 18ftVc^(it^ — 2ft*— r)(M'-2/c' — a')— 27a*/c* = 0. (12)
Pour simplifier celle-ci , je pose m- — a"^ — k^- = t^ : la
transformée est
(r - aJ {t' - k°-)' + ik' {t' — ay + 4 «^ (f — ky+ 18 a^ /c* [t' - a*) (f* — /c*) — 27a*r = 0,
ou
f« + 2 (r- + k') l' + {a'—k'Y t' — Sa'-k' {a' -h k'-) f—ia-k:{a'+k'f = 0. (13)
Lorsque a = h, l'ellipse devient un cercle ; par conséquent, la toroïde doit se réduire au système de deux cercles concentriques avec le premier, et dont les rayons sont u = a± k: le premier membre de l'équation (13) est donc divisible par (i- + 2r//î:) {f- — ^ak). Si l'on fait la division, on trouve, pour quotient , [t^ + ft^ + fc-)-, c'est-à-dire u\ Conséquemment, l'équation (12) est vérifiée par u'^ = 0 ; ce qui prouve que l'on a, identiquement ,
[(2fr + k°-) {a'- + Hk'-) +9ir kf-y = W (2fr+ kj + W {2k'- + a'f + lOSrt* k' ;
ou
(a* -+- 7fl.'/c' + k'Y = /i' (2a' + ky -f a' (2/c* + a'f -+- 27û*/c* ; (14) OU encore, en faisant rt' = a^ /û^ = (3' :
Cette identité (15) donne une infinité de solutions entières de l'équation
En voici deux :
1° a = 2, (3 = 1, .i; = 17, 1/ = 20, 2 = 12, «=121; 2° a =2, (3 = 5, rr = 705, î/ = 516, z = 3000, w = 22 689.
En effet ,
et
Remarque. — L'identité (15) ne fait pas connaître toutes les solutions de l'équation (16). Par exemple, on n'en pourrait tirer celle-ci :
