V XX. — SUR LA TOROÏDE

D'après la définition (p. 55) les trajectoires orthogonales une suite de normales à l'ellipse sont des toroïdes. Une de ces normales étant représentée par

y — mx +

l'équation différentielle des toroïdes est

dx d'ex

^^y )/ a\ly' + b'-dx*

D'un autre côté, l'équation générale de ces courbes est

(x-- -+■ if—o/- — b^ — ICf {a'if + b'x' — a'k' — b- k' — a'by

+ Aa' b' k* {x* + y- — a'- —b' — kj — 27 a'b'k'

+ 18 rt^ b' k^ {x^ + y- —a-' — b' — k'-) (ay + b'-x" — a'k' — b'k^ — a'^b*)

+ k {a'if -+- b'x' — a'k^ — b't^ —a'b'-f = 0 ( *) (2),

k représentant la distance arbitraire prise sur la normale, à partir de l'ellipse. Cette équation (2) est donc l'intégrale générale de l'équation (l). Il serait peut-être difficile d'arriver directement à ce résultat.

Addition. — {Juillet 1866.)

Généralement, soit

l'équation d'une courbe donnée C. Si l'on fait

on pourra mettre sous la forme

y = mx -\- (^{m) (3),

l'équation

de la normale D au point (a, (3).

Cela posé, l'équation différentielle des courbes qui coupent orthogonalement les droites D; ou, ce qui est équivalent, l'équation différentielle des courbes parallèles à C est

dx / f/^\ Bien que cette équation différentielle puisse échapper à

toutes les classifications connues, il est facile d'en trouver l'intégrale générale.

En effet, cette intégrale est l'enveloppe des cercles représentés par

Par conséquent, si l'on élimine x, fi entre les équations (i), (5) et

df df ^ ''

da. rf|3

l'équation résultante ,

F(a^,!/,fe) = 0 (7),

sera cette intégrale générale.

^ XXI. — SUR l'intégration des équations simultanées (1844).

PROBLÈME. (*) — Intégrer les deux équations

ydt y 1 + /*

du d'x ., dx ,. , „, , , ^

Mettons l'équation (1) sous la forme

(*j Proposé au concours d'Agrégation des Collèges, en 1844. — La solution suivante a paru dans les Nouvelles Annales (tome IV, p. 243).

Regardant le second membre comme une fonction de t , inconnue, nous aurons, par la méthode de la variation des constantes :

. = Ae«/| = .-(.:|-4

La valeur de x donne

dV- \ dt dH

Substituant ces valeurs dans l'équation (^), nous la transformons d'abord en

\dt dr-l J YTTT^

Mais

d^ dt

d'où

dk dW

dt df

L'équation (4) devient donc

et le calcul n'offre plus de difficulté (*).

(*) Ce procédé, applicable à un grand nombre de cas, a quelque analogie avec celui que l'on peut employer dans V Analyse indéterminée du premier degré {Cours de Mathématiques , i)ar Auguste Blum, tome l^^, Appendice).