XXII. — SUR LA l'AFiTITIOX DES NOMBRES

Soit {n ,q) le nombre de manières de former une somme n, avec q nombres entiers positifs, inégaux; et soit [n, q] le nombre de manières de former cette même somme par l'addition de q nombres entiers , positifs , égaux ou inégaux. On peut toujours supposer que les q nombres entiers qui concourent à former la somme n sont rangés par ordre de grandeur non décroissante. Par exemple, s'il s'agit de former la somme 37 par l'addition de 3 entiers , on pourra considérer ces groupes :

mais non ceux-ci :

Cela posé, on aura les théorèmes suivants (**) :

THÉORÈME I. {n,q) = {n — (},(i ^\) + {n—(i,q). (1).

Démonstration. — Si l'on considère un groupe quelconque formé de q termes, et que l'on retranche une unité) de chacun d'eux , on obtient un nouveau groupe dans lequel la somme des termes est seulement « — q. D'ailleurs , ce nouveau groupe est formé de ^ — 1 termes ou de q termes , suivant que le premier groupe commençait par 1 ou par un nombre supérieur à 1. La même remarque subsiste pour chacun des groupes proposés ; donc , etc.

THÉORÈME II. [n^q] = [n~ \,q — \]^[n~(i,q\ (2).

(*) Les démonstrations suivantes , que je retrouve dans une lettre adressée autrefois à M. Terquem , m'avaient été demandées par ce regrettable savant. Elles n'ont jamais été imprimées.

(**) Ils ont, je crois, été démontrés par Euler.

Démonstration. — Partageons nos groupes en deux séries; mettons dans la première ceux qui commencent par i , et dans la seconde ceux qui commencent par un nombre supérieur à 1. Supprimons le premier terme dans tous les groupes composant la première série, et retranchons 1 de chacun des termes formant les autres groupes. Nous obtiendrons ainsi deux espèces de sommes : les unes égales à n — î , et composées deq — i termes; les autres égales h n — q, et composées de q termes. C'est là ce qu'exprime l'équation (2).

THÉORÈME III. {H,fl) = \)l~ ^^7' , (I (3).

Démonstration. — Soit un groupe formé de q termes inégaux, dont la somme est n. Retranchons 0 du premier terme, 1 du deuxième, 2 du troisième; et ainsi de suite. Il est évident que nous obtiendrons un nouveau groupe dont un terme quelconque sera égal ou inférieur à celui qui le suit (*). D'ailleurs , la somme des termes de ce nouveau groupe est

n — {{ +^2+^+ . . .+ q~^\), ou n —^^\^. L'équation (3) est ainsi démontrée.

THÉORÈME IV. [n , q] =. ^^ [n — q , i] (i).

Démonstration. — Prenons un groupe de q termes, égaux ou inégaux, dont la somme soit n, et dont les q — i premiers soient égaux à 1. Si nous retranchons 1 de chaque terme , nous formerons un nouveau groupe de q termes , de somme n — q, Qi dont les </ — i premiers termes seront des zéros ;

(*) Réciproquement : si, à des termes rangés par ordre de grandeur non décroissante, on ajoute, respectivement, 0,1, 2,... unités, les nouveaux termes ainsi formés seront inégaux et croissants.

— Gi

OU, ce qui est équivalenl, un groupe composé de i termes, égaux ou inégaux, et de somme n — q. Donc, etc.

THÉORÈME V. ;{«,f/)= T {^n - iq , q — l) (5),

p étant le quotient entier de ?i + 1 par q.

Démonstration. — Considérons un groupe dont le premier terme soit i, et retranchons i de chacun de ses termes. A cause de i — i = 0, nous obtiendrons ainsi un nouveau groupe composé de (/ — 1 termes, et de somme n — iq. Et comme n — iq doit être égal ou supérieur k q — d , on doit supposer i égal ou inférieur au quotient de n + i par q, ce quotient étant pris par défaut.

Remarque. — Les équations (1), (2), (4), (5) supposent

n ~ ^q. Si n = 2^, elles se réduisent à :

{"2(1,(1) = iq,q-\)r) (10,

[îq,q] = [^q-i,q-\] + i (2'),

[2r/,^/] = [q,\] + Uh2]+... + [q,(i] (4').

Applications et vérifications. — Soient n = 15 , q = 3 :\es relations démontrées ci>dessus deviennent :

D'un autre côté, le calcul direct donne :

(*) La quantité {q . q) égale zéro.

donc

ce qui est exact.