XXIV. — SUR l'héliçoïde a plan directeur

THÉORÈME. — L'héliçoule à plan directeur est la seule surface gauche à courbure moyenne nulle {**).

Soient G, G', G" trois génératrices consécutives delà surface cherchée S. Par un point 7n situé sur la première, faisons passer un plan P, perpendiculaire à cette droite G; et soient m', m'' les points où il coupe G', G". La section normale passant par G ayant une courbure nulle, il en doit être de même pour la section faite par le plan P ; c'est-à-dire que les points m, m', m" sont en ligne droite (***). Conséquemment, la surface du second degré, osculatrice de S le long de G (****), est un paraboloïde rectangulaire , dont l'un des plans directeurs

(*) Aujourd'hui , l'on dirait simplement: l'axe est la 'perpendiculaire an plaix asymiJtotique , passant par le point central (mai 1866).

(**) Dans le Journal de Liouville (t. VIT, p. 203) le même théorème pst démontré par le calcul. A défaut d'autre mérite , cette première démonstration a celui de la priorité. Néanmoins , on peut lire, dans le 32" Cahier du Journal de V Ecole- polyteclinique (1848, p. 134) : " Meunier a le premier démontré Cette proposition remarquable dans son Mémoire sur les surfaces , qui a été inséré au Recueil des Savants étrangers. » — Cette assertion si précise atteste un grand effort d'imagination : Meunier prouve seulement que , parmi les surfaces engendrées par une droite horizontale, l'héliçoïde satisfait seul à la propriété énoncée; ce qui est bien ditïérent.

Pour coniprendre le procédé que je relève Ici, on doit se rappeler les maximes de Bertrand et de Raton {Lcc Fontaine, livre IX, fable XVII) ^^ (mai 1866).

(***) Autrement dit, la surface S est de telle nature, que toute section plane, perpendiculaire à une génératrice, présente une inflexion wu point où elle coupe cette génératrice. Cette propriété appartient, en effet, à l'héliçoïde (mai 1866).

(****) Leroy, Géométrie descriptive , p. 360.

est le plan P, et dont l'autre plan directeur, Q, est perpendiculaire à P. Trois génératrices consécutives quelconques étant parallèles à un môme plan , il s'ensuit que la surface S admet un plan directeur, savoir, le plan Q.

Remarquons maintenant que, parmi les génératrices du paraboloïde osculateur, il en est une qui rencontre orthogonalemcnt G, G', G''; donc la surface S est un conoïde droit.

Le reste est évident.

XXY. — SUR UN CAS PARTICULIER DE l'hYPERBOLOÏDE GAUCHE (1849).

On sait que si les faces d'un angle dièdre droit passent respectivement par deux droites AB, CD (*), non situées dans un même plan , l'arête du dièdre engendre un hyperboloïde dont les trois axes satisfont à une équation de condition. Cette surface jouit de quelques propriétés qui n'avaient peutêtre pas été remarquées.

I. Si l'on prend pour origine le milieu de la plus courte dislance des directrices, AB, CD ; pour axe des %, une parallèle à la droite AB ; pour axe des x , la plus courte distance ; et si l'on désigne par 7 l'angle des directrices, ces droites sont représentées par