AB), (CD

et l'équation de l'hyperboloïde est

x' + y- —yzX^y == a'' (1).

II. A l'inspection de cette équation, on voit que l'hyperboloïde peut être engendré par une circonférence dont le plan resterait perpendiculaire à AB , et qui couperait, aux extrémités B,D d'un même diamètre, les deux directrices. Des

(*) Le lecteur est prié do faire la figure.

considérations de Géométrie descriptive conduisent au même résultat.

III. L'équation (1 ) est vérifiée par ^ = ± a, y =^ 0; donc les sections circulaires de lliijperholoïde rencontrent deux génératrices, perpendiculaires aux plans de ces sections (*),

Puisqu'il en est ainsi , les trajectoires orthogonales des sections circulaires se projettent, sur un plan perpendiculaire aux deux génératrices , suivant des circonférences ayant leurs centres situés sur la droite qui joint les pieds des génératrices. Ces circonférences sont déterminées par l'équation

x' + y + Ix -f- a' = 0 (2),

/ étant un paramètre variable (**).

IV. Si les sections circulaires sont considérées comme des lignes de niveau de l'hyperboloïde, les projections des lignes déplus grande pente sont donc des circonférences. Ce résultat est d'autant plus remarquable que, dans le cas général, les trajectoires orthogonales des sections circulaires d'un hyperboloïde sont des courbes très-compliquées (***).

V. Remarque. — Le diamètre BP du cercle générateur est la normale, en B, à l'hyperboloïde (****). De là résulte que le lieu décrit par ce diamètre est le paraholoule normal suivant AB; etc.

(*) Il s'agit ici d'un des deux systèmes de sections circulaires : le second système jouit d'une propriété semblable.

(**) Voyez , sur ce point , le Journal de Liouville (tome XIX , p. 132).

(**') Journal de Liouville (tome XII, p. 483).

(****) Il y a un théorème plus général : « Pour obtenir la normale en un point •• P de la surface gauche engendrée par l'arête d'un angle dièdre droit , dont les " faces sont normales à une courbe donnée, menez, par le point P, un plan » perpendiculaire à l'arête ; construisez les points Q , R où ce plan perpendiculaire » est rencontré par les axes des cercles osculateurs à la courbe donnée , pour les « points où cette courbe est normale aux faces de l'angle dièdre ; avec PQ et QR » comme côtés , construisez un rectangle PQNR : la diagonale de ce rectangle " sera la normale demandée » (Société Philomathique, 4 novembre 1848).

XWI.