PROBLÈME D ALGÈBRE

Décomposer un polynôme, égal à la somme de deux carrés, en une autre somme de deux carrés.

I. Si A, B sont des polynômes, et que l'on veuille rendre identique l'équation

il sulfit de prendre, soient

A' = A cos ç + B sin ^ , B' = A sin ip — B cos cp ;

soient

X' — A. cos, cp ~ B sin cp , B' = A sin (p + B cos (p ;

9 étant un arc quelconque : pour plus de simplicité, on peut le choisir de manière que sin © et cos tp soient rationnels.

IL De cette remarque, il résulte d'abord que x'^ y^ z-

étant l'équation d'un hyperboloïde à une nappe , les deux systèmes de génératrices rectilignes peuvent être représentés par

/yi /v

- = - cos(p 4- sin 9 ,

-^ = -sm(p-cos9,

- = -cos CP — SHlffi ,

a C ' ~ f ^fsincp + cosçC).

(*) Cette méthode, que j'ai enseignée il y a liicu longtemps , me parait préférable à celle qui est géuéraiemeut suivie eu France. (Juillet 1866.)

lîl. De plus, si A, B sont des fonctions de x, y,%, du premier degré , l'équation

qui représente en général une ligne droite, peut, de deux infinités de manières , être remplacée par

Soient , par exemple ,

Si l'on prend

cos a; = - , siiî î- = r ,

on pourra substituer , à l'équation

{X + 2î/ — ?y% + 1)^ + (Sj- — y + %Y = 0, soit

(lia; + '2y — b::. + 3)^ + {— 2.t- -h ily — [oz + iy =0, soit

( ^x + lOy — 13,5 + 3)' + {\0x + ny — 9z + i'f = 0.

En effet, ces trois équations deviennent respectivement, étant développées:

6x^ + 5?/' + 10::.' — \iyz — îzx + 2x + iy — 6: + 1 = 0 , i^bx^ + i 25?/" + 230::,- — 3o0î/v — 50zx + 5o^ + lOOy — 1 oO^ + 23 = 0, 125a:' + 125î/' + 250^."' — 330?/^ — SOva: + 50a; + lOOy — VoOz + 23 = 0;

et il est visible que les deux dernières équivalent à la première.

XXVll. — SUR LE PROBLt.MK DES PARTIS. ( 1853. )

Je rappelle l'énoncé de ce problème :

A chaque cuup , l'un des deux joueurs A, B gagne un puint. Pour que la partie soit terminée, il manque a points au joueur A, et il en manque b au joueur B. Sachant que les probabilités de gagner un point sont cr. puur A et Ç::, pour B, on demande quelle est , pou:-' chacun des joueurs , la probabilité de gagner la partie.

I. En désignaiil par ]; la probabilité relative à A, on trouve, par diverses méthodes :

'^ r(fl)r(//)La 1 a+i"^ 1.2 ftf-2 ■ «+è i^^^^-

De môme, la probabilité q relative à B peut être mise sous ces trois formes :

rh\ , b b ib + l) ,, b[b-i- l) ...lia +b— '2) a— il

'^ r(«A^)U 1 z^ + i'^ 1.2 /^ + 2 •••=^rt+//-ij ^^'^' II. Si l'on fait « = ~-, [^ = — - , et que l'on ajoute

les égalités correspondantes, on trouve :

(x-rî/) =x I (x+y) -^-^y^^^ + ii! '^""^ Y7i — (b—i) ^ \i

(7), ftp, r/ 1 '' , rt 2 /'(/'+ I)...(a+^— 2) « ,1 \

r(fH-^) i\\, .„ 1 rt— 1 ?/ , ,« , , ?y"'^ 1 i(fliI(/0 L/^' i /^+1 '^ fl+^— IJ,

IIÎ. Soit y =■ {m — i) x, m étant entier. Les trois dernières relations se réduisent à :

aJ^h—\ b—\ «■ . h—" a(ft+l)...(a+/;— 2) . . ,, ,\

111''+" ' = w' ^ J [in ~-i) m' - +...+ "172 ... (a i) ^^^^-^^

((M), , ,,,r, , «i , ft+ft— 1 ,ri—2 ia-hb-\)..(b+i)l\

+ (m-l)^j (m-l/* + — -^ — {m-if ^+...+'-^ — uTl) y

aA-b—i l\a+b}r\ ,,! b-l 1 2,2 , 1 n \

„ja-1-o ^z:^ \ -/;/^ ; ijf 2 +...rt: ^ 1

l{a)r{b)la 1 a-t-1 ff+/^-lJ j

l{a)r{b) Ib 1^+1 a + b—ljl