XXVIII. — FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES

I. Une fraction continue périodique est celle dont les termes se reproduisent dans le môme ordre, à partir d'un certain rang. Elle est dlle iJériodiqiie simple, lorsque le premier quotient incomplet fait partie de la période. Dans le cas contraire, elle est appelée fraction périodique mixte.

Les fractions continues périodiques jouissent d'un grand nombre de propriétés remarquables , reposant toutes sur la proposition suivante.

II. Soit une fraction périodique simple m, n, p, q, m, n, p, q,... : la valeur y de cette fraction sera donnée par l'équation

En désignant par y^ et y.^^ les résultats que l'on obtient en prenant i périodes ei i + i périodes, on a évidemment

La différence entre deux réduites consécutives peut devenir moindre que toute quantité donnée ; il en est de même

(*) Les Notes XXVIII et XXIX sont extraites d'une Théorie des Fractions continues , publiée dans les NouveUes Annales (1849). Si je reproduis un sujet aussi élémentaire, c'est uniquement h cause du calcul développé dans le paragraphe 7 (Note XXIX) (septembre 18CG).

pour deux réduites distantes d'un nombre déterminé de rangs : car celte dernière différence est égale à la somme des différences entre les réduites intermédiaires et consécutives. Donc j.^ et y^^^ ont la même limite, laquelle est?/.

III. On peut calculer, de proche en proche, // . ^. , y. ,..., y^ , y.^^ , sans passer par les réduites intermédiaires. \a\

effet, représentons par p? , 7y les réduites répondant aux termes];, q de la première période ; et soit— la réduite qui suit-^, de manière que

R Qm + P

Si, dans cette valeur, nous remplaçons m par y^ , nous obtiendrons y ; donc, en général,