IV. Soit — la fraction irréductible équivalente à

1 Ui

^ QT + PT' ^,+1 " Q'T + P'T' ^ ''

et je dis que la fraction contenue dans le second membre est irréductible.

Soient U , U' les deux termes de cette fraction , savoir :

U = QT + PT', l]'=Q'T + PT.

Entre ces équations, éliminons successivement T et T' ; nous trouverons

UQ' U'Q = (PQ' - P'Q) T', UP' - U'P = - (PQ' - P'Q) T. Mais , y sont deux réduites consécutives : donc PU' - P'Q = =b 1 ;

par suite,

UQ' - U'Q = ± r, UP' - U'P = r^ T.

Ces équations prouvent que tout facteur commun à U et U' devrait diviser T et T'. Si donc, comme nous l'avons supposé,

— est irréductible , rrrj le sera pareillement.

D'ailleurs, la fraction ^ , qui donne la valeur de la première période, est une réduite; donc toutes les fractions obtenues par l'application de la formule (i) sont des réduites.