II

A = '^ I d^y Ir zC- j'5* + [le- + '/- ) '/- (,5* cos' cp + a- sin- cp)

2 , 6' cos* û + a= si 11= (p

[/ a' fi'- + '/^ 0'^' co^' (p + c. sin' '^) ' ^ ' '

([), représentant la quantité

Il V^a'j3-+'/(|3-COs'(p+a'silV-cp)+ y /ra-|3-+y-(/i-+y-)(,'3-C0S-(p4-a'sill'tp) y' J/ |5* cos- cp + cr sin- cp

Addition. — {Août i8G5).

VI. Les trajôctoires orthogonales des sections parallèles au plan des x y sont caractérisées par l'équation

a- y' d x^ — (3* .r' dif — o ( 15 ).

Soient f/s l'élément d'une section parallèle, d<s l'élément d'une trajectoire : f/ A = dsd'^.

Premièrement, si l'on différencie l'équation (i) en y supposant ^' constante, et que l'on fasse, pour plus de symétrie,

'^ = ^1/'^'^ 4- /cos 9, ^=ij/7TT^sinO,

on trouve

ds = y^\ "^'^" i/i3^ cos°- 0 + a- sin* 0 r/ 0 (16).

En second lieu, l'équation (1), différenciée par rapport aux trois variables, donne

,6' .r' d ,r' + «* ?/' r/ ?/' - ^IZ ^,' ^/ j' ; 7'

„- 7 d'où , à cause de la relation (15) :

OU, ce qui est équivalent :

a 6- :;' d z' cos 0

dx' =

y ^'^/i , yi a- sin' 0 + |3' cos' 0 '

, , a- B z' d z' sin 0

Il résulte, de ces valeurs,

Par suite,

dX = — dOdz' %/ |a-;3-+'/(a'sin'0+(3-cos-G)].:.''+yXa'siii-G+|3-cos6) ; ou plutôt

avec

R = \/[^-' ^'+'/ i^-' sin- G+ i-S' cos- 0)] z"+'/' hr siir 0 + Ci' cos' G) .

A cause des notations (5), la relation (18) ne diffère pas de la formule (13).

VII. Ce rapprochement donne lieu à la remarque suivante: la méthode dont j'ai fait usage , en 1839 , pour ramener aux quadratures l'aire de l'ellipsoïde, équivaut à la décomposition de la surface en rectangles curvilignes. Cette décomposition, très-laborieuse quand les rectangles sont déterminés par les lignes de courbure (*), devient incomparablement

(*) Voyez Legen'DRE; Théorie des fonctions eUiptiqvcs, tome I, p. 354,

plus simple lorsque ces éléments résultent de sections parallèles à l'un (les plans principaux, et do leurs trajectoires orthogonales.

m. — SUR I. INTKOr.ALF. / / (( X (I y \/ 7— H ; •

Au lieu de prendre, pour conditions aux limites,

.r- + }f Z i . -r- + ir ^ i -\- c- ,

comme dans la Note I, supposons que l'intégrale doive êlre étendue à toutes les valeurs de x et de y satisfaisant aux relations

X'- + y ^ -1 , (f' — a')x* -f- (C — b') if ^ r» — 1 ;

et supposons , en outre ,

Soit

l'intégrale, que je désignerai par V, représente le volume compris entre le plan des xy , la surface (S) et les cylindres dont les équations seraient

Conséquemment (*)

en supposant

(*) Mémoire sur la réduction, etc. {Journal de Liouville) , tome IV, p. 325.

On trouve ensuite, par un calcul facile,

V = t: (ft' - 1) / —

puis, en prenant

q;* ft^ = (z' - b'-) sin» 9, b = ea, sin / =^7 |;,~^^,^, '■

V — ^ (^^'~ ^) / ^ f/tp \/ 1 — e- sin- (p ~ rt(l — f^') / sin' ^^

■r:(ft«e' — 1) Il

-V; TT" / rfcpl/ 1 — e* sin' c& ;

OU encore

" •; tW&|/i(?^sin^O « *<; ^i(3^sin*G)' '

pourvu que l'on suppose

sin 0 = — , sni u = — .