IV. — DÉMONSTRATION d'uNE FORMULE DE DIRICHLET

Cette formule, célèbre autant que remarquable, est la suivante :

/^ a — lb — lc — l

I X y z . , . dxdij dz . . .

par i^ I. a 1^ c \

On suppose les n variables x ,y ,%, . . ., positives et satisfaisant à la condition

(ir-d

dans laquelle les constantes a, (3, y, . . .p, q,i\ . . . sont positives.

Pour établir la relation (A), je commence, comme le fait M. Liouville (*), par la réduire à celle-ci :

^(f)^(7)^lF)r ( 1 -i — I — I — h

dans laquelle

Soit maintenant

la condition aux limites étant

. .dx d y d

.ff ...,/-' J-\..

et soit V ce que devient la même intégrale B , lorsque la condition aux limites est

(") Journal de Mathèmo tiques , tome IV, p. 225.

~ II - Il est visible que

OU

V = (l rrf '■ B.

D'ailleurs

ji « ^ b c

A = B / x^' (1— .-ïf "^ clx;

OU , d'après une formule connue ,

Cette relation (C), qui réduit le cas de 7i variables à celui de n — 1 variables, équivaut au théorème proposé; car, dans le cas d'une seule variable u , l'on a

i Mi-i'c)