TU' — T'U = ±:Q

VI. Plus généralement, 5/ dans une fraeliou pcriudique, simple ou mixte, on considère deux réduites distantes d'autant de rangs que l'indique le nombre des termes de la période; la différence des produits en croix des termes de ces deux réduites sera égale au dénominateur de la fraction continue équivalente à lapériode, celle-ci étant comptée à partir de la première des deux réduites.

(*) Dans l'application de cette formule, on doit prendre le signe + , si le nombre des termes de la période est îmir. Et si ce nombre est impair, on prendra le signe + ou le signe — , selon que i sera, pair ou impair.

[ Ce théorème, aussi bien que le précédent, est une conséquence immédiate de la propriété qui vient d'être appliquée(*). Soit, comme exemple, la fraction

x = 2,3,i,3,2, 1,3,2,1 ...., ou simplement

Les réduites consécutives sont

2 7 9 3i 77 IH ilO 93 1 mi mi T' 3 ' 1 ' Ï5 ' 3Ï ' l9 ' Ï81 ' ill ' 592 ' 2Ï87

D'un autre côté , l'on a

Or,

1" 7. 34 — 3. 77 = — ( 77. Hl — 3i. 931) = ...= + 7; 20 0. 49 — 4.111 = — (111. 592 — 49.1341) =... = — 3; 3° 31.181 — 15.il0 = - (410.2187 — 181.4954) =... = + 4.

Vli. D'après l'équation UQ' — U'Q = ± T', nous voyons que,siT' estdivisible parQ', U' sera parcillementdivisiblepar ce facteur. Or le dénominateur de y^ est précisément Q' :

donc les dénominateurs de toutes les réduites 1I2 , y,,... soit

divisibles par le dénominateur de ?/, .

(*) Vuir, pour la démonstration , les Nouvelles Annales.