XXIX. — RECHERCHE DES VALEURS DES FRACTIONS CONTINUES PÉRIODIQUES
THÉORÈME I. Toute fractiou continue périodique est équivalente a Vune des racines d'une équation du second degré, à coefficients rationnels.
1° Soit d'abord une fraction périodique simple
Nous aurons (p. 75) :
d'où, en représentant par —, -^ les réduites répondant aux termes p, ci,
Ainsi, la valeur ij de la fraction continue périodique simple est donnée par l'équation
laquelle a ses racines de signes contraires. Il est d'ailleurs
manifeste que la racine positive seule répond à la question.
2" Si la période avait un seul terme w, l'équation r|ui
donne y serait simplement y = in -\ — , ou
y. - my - i = 0 (3).
3" Soit maintenant une fraction périodique mixte .t = a,b,c, d,e,{m,n,p,q).
En représentant encore par y la fraction périodique simple {m, ??,];, q), nous aurons
d'où , en appelant —, , — les réduites qui correspondent aux termes d,e,
Cette relation donne
y - E'rc — E '
puis , par la substitution dans (4),
Q' (D' X — W — (P' — Q) (D' x—\))ŒJx- E) ) — P (E' a; - E)^ = 0 )
Or cette équation est du second degré , à coeiTicients rationnels.
4" Si la partie non périodique avait un seul terme a, on aurait^' = « + - ; et l'équation (o) serait remplacée par
P ix — af — (P' — Q) ^^ — «) — Q = 0 (G).
5" Si la partie périodique et la partie non périodique n'ont chacune qu'un seul terme, l'équation (3) donne
G° Enfin, six = -, d'où y = - , les équations (2) ou (3) y -^
donneront encore des équations du second degré en x.
La proposition énoncée est donc démontrée dans tous les cas. 3îais nous pouvons aller plus loin et discuter les équa-
tioiis (2), (3), (4), etc. A cet effet, établissons d'abord le Icmme suivant.
II. Soit X une fraction continue, plus grande que Vunité, et soit
x' la fraction continue inverse. Si —, -^ sont les deux dernières ré-
E' E duites de x, celles de x' seront - , — •
Une rraction conlinue x' est dite inverse d'une fraction continue x, lorsque les termes de la première sont ceux de la seconde, écrits dans un ordre inverse.
Cela posé , soit x = a, b, c, d, e; d'où ^x^ = e, d, c, b, a.
De E = D<? + C, l'on déduit — = ^ + - . Par la même rai-
x; et ainsi de suite lusqua — = & h
e, d, C, b, a =^ x'. On verrait de même que
III. Si la fraction continue x est symétrique, c'est-à-dire si
ses termes sont tels que a, b, e, b, a, alors x' = x; donc
- = - ; OU, simplement, E' = D. Ainsi, dans toute fraction
continue symétrique , le dénominateur de la dernière réduite est égal an numérateur de l'avant-dernière.
IV. Remarque. On peut, de bien des manières, parvenir à l'équation qui donne la valeur d'une fraction continue périodique. En effet, on ne changera pas cette valeur si l'on comprend , dans la partie non périodique , plusieurs ternies appartenant à la période , ou si l'on prend plusieurs fois celle-ci, au lieu de la prendre une seule fois.
Soit, par exemple, .r = 2, 3, 5 (1 , 4). Si nous posons 7/ == (i , 4), nous aurons
son ,
Donc
d'où
^ ~ 16?,' + 3 ' ^ " Ay + 1 '
puis, par l'éliniination de//,
'■2SX* — 131t; + 137 = 0.
iMais si nous regardons comme appartenant à la partie non périodique, les termes i , i, 1 de la période, et si nous posons y = (i , i , 4, i) , nous aurons
puis
^ 2o7j/' + 213 , ^ 29 f/' -\- 2-i ^ "" llly' + 92 ' ^' " 6?/' + 5 ■
L'élimination de ?/' donne ensuite l'équalion trouvée cidessus.
V. Revenons maintenant au n" I. En discutant les différents cas qui se peuvent présenter, et en supposant, pour plus de simplicité, que la fraction périodique soit plus grande que l'unité , nous obtiendrons les théorèmes suivants :
i"" L'équation (2), à laquelle donne lieu une fraetion périodique simple, a ses racines de signes contraires. Et si a désigne la fraction continue inverse de la fraction proposée, la racine négative
de cette équation est — - •
D'abord , l'équation (2) a ses racines de signes contraires, puisque son dernier terme est négatif. En second lieu , d'après le n" II, la fraction inverse serait donnée par l'équation
^ Vif + P '
OU
Py'* + (P' ~ Q) y' Q' = 0.
Eti! est visible que celle-ci se déduit de l'équation (2) par le chanû'ement de y en ,-
2" Si la période a un setil terme , l'équation résultante a ses racines réciproques , et de signes contraires.
En effet, dans l'équation (3), le produit des racines est égal à — 1 .
3° Plus généralement , si la période est symétrique, l'équation du second degré a encore ses racines réciprociues , et de signes contraires.
D'après le n" II, le dénominateur Q' est égal au numérateur P; donc l'équation (2) devient
^i'' L'équation (5), à laquelle donne lieu une fraction périodique mille qui a plusieurs termes non périodiques , a ses racines positives.
L'équation (5) résulte de l'élimination de y entre les deuxrelations
Jl s'agit donc de faire voir que si l'on substitue dans la formule (4), successivement les deux racines de l'équation (2) , les résuliats obtenus seront positifs Gela est évident pour la valeur positive de y. Quant à la valeur négative ,
j'observe dabord qu'elle est comprise entre — Ty • pj ^^
— jy'--^, c'est-à-dire entre — ^ et — -• Ces valeurs,
mises à la place de y dans le second membre de la formule (4), donnent
DQ' — EP' DQ — EP
Actuellement, nous avons
g<jj<<'+i, ^/<-^<7 + l,
D'ailleurs e est différent de q, sans quoi e ferait partie de la période. Soit e <q; alors
E^O E^O' £^0 ii^^A' DP' DP-' D' P' D' P'"
Ces dernières inégalités prouvent d'abord que si y varie d'une
manière continue, entre — --y et — ■-,, la valeur de x varie aussi d'une manière continue.
Ensuite, ces mômes inégalités donnent
DQ' — EP'>0, DQ— EP>0, D'Q' — E'P'>0, D'Q — E'P>0;
d'où
Si nous avions supposé e ^ q, nous serions arrivés au même résultat.
Puis donc qu'en remplaçant, dans la formule (4), // par
pr p
ses deux limites — -r^ et — -r les résultats de la substitution sont positifs, et que d'ailleurs x varie d'une manière continue dans l'intervalle considéré, nous pouvons conclure que la seconde racine de l'équation (2) est positive et comprise entre
DQ'-EP' ^^ ^Q-EP
D'Q' — E'P' D'Q — E'P * t)" Si la partie non périodique a un seul terme a , nous
— 8b aurons x = a + - , etla seconde racine de l'équation (6)
sera comprise entre a — ^ eta — p • Or, gj- et gsontcom-
pris entre q et g + 1 ; donc cette seconde racine est comprise entre a — q et a — q — 1.
Si a est moindre que q , nos deux limites sont négatives ; donc la seconde racine sera négative et plus grande que Vunité.
Si a est plus grand que q, les deux limites sont positives; donc la seconde racine sera positive.
6- Enfin, dans l'équation (7), la seconde racine est comprise entre ri^ — m et a — m — l : donc cette seconde racine est négative ou positive , selon que a est inférieur ou supérieur à m .
VI. THÉORÈME. Toutc vadue irrationnelle d'une équation du second degré, à coefficients entiers , se développe en fraction continue périodique.
Ce théorème, réciproque de celui dont nous venons d'examiner les diiférents cas, est dû à Lagrange. Soit
a,x- — 'ihoX — «0 = 0 (8)
l'équation proposée, dans laquelle rt^ , a^, h^ sont entiers.
Supposons d'abord que les racines soient de signes contraires, auquel cas a^^ et a^ sont positifs. La racine positive est donnée. par la formule
i>o + ^'''/'o' H- a^cti a,
Pour développer cette quantité en fraction continue , représentons par q^ la partie entière du second membre, laquelle
peut être nulle , et posons x = q^ + -, : x^ sera positif et plus grand que i.
De ~! = (I + - -, on tire
puis
Pour faire passer le radical au numérateur , multiplions les
deux termes par \/b,- -^ a, a^ — (bo — (h q, ) ; nous obtiendrons
a. (ft//i — bo -h \/bo- + floa,) fl,<y, — bo -h V b^- + a^a^ ' ~ bf + aoai — {b, ~ao(ii)' ~ a^ + 'Hbj/, — aji'- '
en supprimant le facteur commun a^ .
Posons, pour abréger,
nous aurons, identiquement,
V + ttofl, = b,^ -h a,CL; et la valeur de x^ deviendra
b, + Vb,^ + a.aj
Conséquemment, l'inconnue œ^ est racine de l'équaiion
Maintenant, je dis que cette équation est de même nature que la proposée , c'est-à-dire qu'elle a ses deux racines désignes contraires. En effet, le coefficient a est ce que devient le premier membre de la proposée quand, nprès en avoii' changé
tous les signes, on y remplace x par q^. Or cette dernière quantité étant, par hypothèse, la partie entière de ^, est comprise entre les deux racines de l'équation (8); donc, d'après les propriétés des trinômes du second degré,
OU , ce qui est la même chose, ii^ > 0. Donc, etc.
L'équation (a) ayant ses racines de signes contraires, il est clair, d'après ce qui précède, que l'inconnue x^ est la racine positive de cette équation, et que, si l'on désigne par q, la partie entière de x^ (au moins égale à 1), on a
Xi = t\,-\ — ,
X, étant la racine positive de l'équation
a^x,^ — %,x, — Cf., = 0 {0} ,
laquelle se déduit de la précédente comme celle-ci a été déduite de la proposée.
Cette équation [h) a encore ses racines de signes contraires ; et ainsi de suite.
Actuellement, la série des égalités
bo' + flofl, = b'- + fli«i = bt' + a.jh = . . . = A ,
dans lesquelles «„, «,,«,,..., b^\ &,-, b^-,..., sont des7i07nbres entiers, prouve que ces nombres ne peuvent croître indéfiniment; donc, api'ès un nombre limité d'opér^Vions , on arrivera à une certaine équation
dont les coefficients seront ceux d'une équation déjà obtenue. Conséquemment aussi, la valeur de x est périodique.
Considérons à présent le cas où l'équation du second degré a ses racines de môme signe. Nous pouvons les supposer
positives : car si elles étaient négatives, il nous suffirait de clianger, dans la proposée, x en — œ.
Cela étant, soit
a,x'- — îb,ûc + a, =j) (9)
cette équation, dans laquelle a^ , «-, /?„ sont entiers et positifs. La plus grande racine est donnée par la formule
^0 + Vb^- — a/i,
Si les deux valeurs do x n'ont pas la môme partie entière, l'équation en .c, aura une racine plus grande que 1 , et une
racine négative : car l'expression g^ + - doit donner les
deux valeurs de x. Cette transformée en x^ ayant ses racines de signes contraires, la racine positive se développera en fraction continue périodique; et il en sera de même pour la plus grande racine de l'équation (9).
Si les deux racines de cette équation ont la môme partie entière g, , la transformée en x^ aura ses deux racines plus grandes que l'unité positive ; et alors nous pourrons raisonner sur cette équation comme nous avons raisonné sur l'équation (9), c'est-à-dire que, si les deux valeurs de x,^ n'ont pas la môme partie entière , la transformée en x. aura ses racines de signes contraires , etc.
Remarquons enfin que nous ne pourrons pas trouver indéfiniment des transformées dont les deux racines aient môme partie entière : car, s'il en était ainsi, les deux valeurs de x seraient égales et, conséquemmcnt , rationnelles.
Le théorème de Lagrangc est donc démontré.
VIL Reprenons le calcul qui donne le développement de la plus grande racine.
Dans !e cas de l'cquation (8), nous avons trouvé
bf, -h \' th- + ((..<(, 1
Nommons N la racine carrée entière de A — bo' -\- aji, , el posons
ho + N --= (/,, d, = a/i, + /', ;
nous aurons de môme
^1 + N = d, , d, =-- fi//, + i\ , Ih + N = f/,, d,. = a.jir, + /'j,
Mais
/;, = rt//, — /;„ = /;„ + N — r, — /;, = N — r. ; conséquemment
La loi des dividendes est donc connue.
D'un autre côté, la relation a, — «^ + 2&,g, — ^^ ^/,'^ donne
fl. = a, + q, (!2/', — f{//,) = flo + f/i i^bo — b, — /^)
= «0 + f/, (/)„ — h,) = (u + (h ("'■ — rfî) = «0 -+- f/i ('"i — '■<).
De là le tableau suivant, qui donne la marche du calcul :
d, = b, + N = 2\ — /■„ , d, = a,q, + r, , f/, = 2N — r, , ^^, = rt» + </i (?'. — )'„), t/j = «,</, + /■, , c/j = 2N — r-2, (h = a, + r/, 0". — r,) ,
S'il s'agit de l'équation (9), il suffit de changer le signe de a,.
VIÎI. En appliquant celte mélhode à l'équation 3.C* - Sx — 5 = 0,
on a
puis
«,, = 3, 0, = i, ao= 5, A = 31 , N = 5;
t/, = 9 , fl, = 3 ,
10 = 3.3 + 1, rf, = 9, «,=2 + 3 = 0,
6 = 5.1 + 1, cf„ = 9 , «,=6 — 3 = 3,
donc
IX. PoLU' la seconde racine, prise positivement, on aurait «. = 3 , /;o = — 4, «0 = 5, A = 31 , N = 5 ;
puis
tt, = 3,
rfs = 6,
rf« = 6,
rf, = 9,
fl, =6 — 3 = 3
'/« = iO,
fto = 3,
donc
