X. Prenons encore l'équation
62x- — 400« + 645 = 0 , laquelle donne
Pour la première racine
fl, = 62 , a„ = — 645 , N = 3 , rf, = 203 ;
puis
203 = 62.3 + 17, rf, = — 11, «,=: — 645 + 3(203 + 11) = —3,
— il = — 3.3 — 2, 4 = S, a, = 62 — 3. 19 = 5,
8 = 5.1 + 3 , d, = 3, fl, = — 3 + 5 = 2 ,
5 = 2.2 + 1, rf. = 5 , «, = 3 ,
5 = 3.1 + 2 , rf, = 4 , «, = 2 + 1 = 3,....
A cause de r/, = ^/(, et de fô^ = «^ , la période est en évidence ; et
On trouve , semblablement,
XL La méthode de calcul qui vient d'être appliquée donne une limite supérieure du nombre des transformées de l'équation proposée. En effet, s'ils'agit de l'équation (8), les dividendes' sont positifs et moindres que 2 N +- i. En outre, pour un dividende d, il y a au plus d valeurs du diviseur. Donc le nombre des transformées ne surpasse pas
Dans le cas de lïqualion (0), comme les dividendes peuvent être négatifs , on obtiendrait une limite du nombre des transformées en doublant N (2 N + !)(*).
XII. Nous supposerons maintenant, pour plus de simplicité, que Véquation donnée a au moins une racine plus grande que r uni té positive : si le contraire arrivait, il suinrait de cbanger
^ en - ou en • Cette restriction étant admise, si l'on
rapproche le théorème de Lagrange de la discussion faite ci-dessus (V), on arrive aux conséquences suivantes :
1" Soit une équatiou du second degré, dont /<^s racines sont de siipie.s contraires.
Si l'on développe, en fractions continues, la racine positive x' et la racine négative — x" cliangée de signe :
Lu partie périodique de x' sera l'inverse de la partie périodique de x'' ;
Les deux fractions continues sont périodiques simples, excepté quand x'' surpasse 1 , auquel cas x' a un seul terme non périodique.
2" Si l'équation du second degré a ses racines positives , ces deux racines se développent suivant deux fractions périodiques mixtes, dans lesquelles les parties périodiques sont inverses l'une de l'autre.
Ajoutons, pour que cet énoncé ne puisse pas être en défaut :
1° Qu'une fraction périodique simple, plus petite que l'unité, a nécessairement la forme
2oQue pour avoir, dans x' et dans x", des périodes inverses l'une de l'autre, il pourra être nécessaire de comprendre, dans les parties non périodiques, plusieurs termes périodiques.
(* ) On aurait une limite 'teaucoup plus basse que N (2 N + 1), si l'un pouvait assigner le nombre des solutions entières et positives Je Ténuatious:- -|- ut — A.
Ainsi , dans l'exemple du n" VIII , nous avons trouvé X' = (3, 5, o, 1, 1, 10, 1, 1) et
ic" = 0,(1, 1, 10, 1, 1, 3,0, 3).
Dans le n" X, les valeurs des deux racines étaient
et les périodes n'étaient pas inverses ; mais elles le sont devenues quand nous avons eu écrit
ce" = 3, 5, 1,(2, 1,1).
xni. THÉORÈME. Xrt racuie cavrée d'un nombre rationnel non carré est exprimée par une fraction périodique mixte ayant un seul terme à sa partie non périodique.
Soit A le nombre , plus grand que Vunité , dont on veut développer la racine carrée en fraction continue. Cette racine est donnée par l'équation x^ — A = 0, et le théorème est compris dans celui qui précède.
Soit x' = V'k ■= a, {m, n, p, q, r) , en supposant, pour fixer les idées, que la période ait cinq termes. Représentons par y la fraction périodique simple {m, n,p, q, r), nous aurons , d'après le n° V ,
— x" = \/k. = a — (r , q , p , n , m) , ou
Mais cT'' = ^' = a , {m, n ,p, q , r); donc
— a + r = a, q = m, P = n , n = /;, m = q , r = r, etc.
La relation — a + r = a donne r = 2 a, c'est-à-dire que,
dans le développement de V'k, le dernier terme de la période est double du terme non périodique.
Les autres égaillés nous apprennent qu\'n faisanl abslracUon du dernier terme 2 a, la période de ^/~K est symétrique. Par exemple ,
XIV. Avant de passer à d'autres propriétés , cherchons le moyen de transformer une fraction continue , à termes positifs et négatifs , en une autre dont tous les termes soient positifs.
Soit, à cet effet, la fraction continue ^ = « — r- ,
dans laquelle a, b, c ne sont pas inférieurs à l'unité. Celte fraction est comprise entre a — i et a ; donc on peut écrire
X = a — 1 +7* En identifiant, on trouve
Donc
Si 6 = 1 , on a simplement
