Q'D' - (P' — Q) DE — PE

Il en résulte

2 (Q^DD' - PEE') - (P' — Q) (DP 4- D'E) dr Vl ^ " 2 [Q'D" - PE" - (P' - U) D'E']

L désignant la tbnclion

[2 (Q'DD' - PEE) - (P' — Q) (DE' -+- D'E)1' - A [Q'D'* - PE" - (P' - Q) D'E'] [Q'D' - PE' - (F -Q. DE].

En développant cette fonction , et ayant égard aux relations PQ' p'Q =: =h 1, DE' — D'E ^- dtz i, on trouve qu'elle se réduit à (P' — Q)' ± 4.

Il suit de là que si l'on cherche la valeur d'une fraction continue périodique, le radical contenu dans cette valeur a

la forme j/îi^ ± 4, laquelle, si u est pair, se réduit à 2 \/u'^ ± 1. Par suite, d'après le théorème de Lagrange, l'irrationnelle |/A, dans laquelle A est un nombre entier, ne doit différer de l'irrationnelle Vu" ± 4, que par un facteur commensurable ^. En d'autres termes, on peut toujours satisfaire à l'équation

AX^ = ù* ± 4.

Cette remarque est utile dans l'Analyse indéterminée du second desré.