I. A cause de la relation

1' 4- 2' + 3' 4- . . . -f- n= = [^^], on a .r'+(.r -+-!)'+ . . . +{x-hy—iy= |(2x+î/— l)[4a;'+4(y-~l)x4-2î/(î/— 1)] ;

ou, en représentant par s la somme des y cubes, et en posant

^x-hy — l = z {{):

D'après l'égalité (1), y et z sont âe parités différentes. Par suite, ^yz et ij' + %^ — 1 sont divisibles par 4. Donc s sera un carré , si le second membre de l'équation (2) est un carré.

Soient

îijz^ = a, y -h s' — 1 = |3 , 7j + x, = A, z — y = {x,s~ t* (3); nous aurons

(*) Cette question m'a été suggérée par la lecture d'un beau Mémoire de M. Angelo Genocchi. {Note sur quelques sommations de cubes.) Bien que ca savant géomètre y donne les solutions rationnelles de l'équation générale

x^ + {x + rf + (x; -I- 2rf -f- # • . + (^ -f- nr — rf = ?/* ,

il m'a semblé intéressant de chercher les solutions entières de l'équation payticulière

Ainsi la queslion se réduit à trouver deux multiples de 4, « , ^ , tels , que ^S, ^ + (3 + 1, (3 — a+1 soient des carrés.

II. L'élimination de fi, entre la première et la troisième des équations (4) , eonduit à

Les solutions de cette équation sont données par les deux systèmes de formules :

2a + {X* ~ i = il* + V* , p.* ~ 1 = u' — f* , it = uv (6) , 2a 4- p.« 1 = u' 4- 11% u' — 1 =.2î«.', 8i = 71' ~ i'« ('6');

d'où l'on tire, soit

a — v' , fi = W- (7),

soit

2a = (u — t')' , 2i3 = (ii + vY (7').

Ainsi a, fù, ou leurs doubles, sont des carrés.