III. Les équations (7) équivalent à

2yz = V' , y* + :-• — 1 = n' (8).

Soil w = - z^, - étant irréductible. On déduit de là

y = py , z = qy (9) ,

y étant un nombre entier. De plus , ?/ et s étant de parités différentes, il en est de môme pour p et (/; en outre, y est impair . Enfin, à cause de %jz = v^ , '2.pq est un carré, ce qui prouve que, des deux nombres p , q, Vun est un carré, et Vautre , le double d'un carré.

Au moyen des valeurs (9), la seconde équation (8) devient

— JOl -

Dans chaque cas particulier, réqualioii (iO) fera connaîire les valeurs de y et de u. On aura ensuite

IV. Si l'on répète, sur les formules (7'), des calculs analogues aux précédents , on trouve

kyz = (fi — v)\ 2 (2/* + S' - 1) = (w 4- i')' = 4u" (8') ,

2/ = /;y, V = <;fy (9'),

(p' + </*) y' — 2îi'* = 1 (10') ,

((/-- ;9) y 4- 1 yV* .. ..^

1/ = ;jy, X -= ^ î^ , s == pq(-^ (11') :

cette fois, p etq sont des carrés, l'un pair, l autre impair {*).