XXXI. — RKCTIFICATION DE LA METHODE DE NEWTON {*) (iSoO

I. Nous supposerons , dans ce qui va suivre , que la séparation des racines a été opérée; en sorte que la racine inconnue a, dont on veut approcher, est comprise entre deux quantités données, «, |3, qui ne comprennent aucune autre racine de l'équation f{x) = 0. Nous admettrons, en outre, que ces deux limites ne comprennent aucune racine , soit de /' (.r) = 0, soit de /''(.i') = 0. Ces diverses iiypothèses peuvent être énoncées ainsi :

L'arc AB (**), dont les extrémités ont pour abscisses o. et (S, coxqie une seule fois l'axe des x ; de plus, il ne contient ni point maximum ou minimum , ni point d'inflexion.

Cela posé :

1° Appliquons la correction de Newton à celui des deux points donnés pour lequel la tangente Aï tombe dans Vintéricur du triangle formé par la courbe AR, V ordonnée AA' et l'axe des abscisses : ce point A est celui dont l'abscisse et. rend f (x) et f'(x) de même signe. A cause de OT = OA' -h A'ï, nous aurons

2° Menons la corde AB , qui laisse d'un même côté l'arc ARB, puisque celui-ci est convexe. Le points, où AB coupe l'axe des abscisses, partage A'B' en deux segments proportionnels à AA', BB'; donc

SB' - A'B' ^^' - (3 - .) -~Ii2L.. '^•^ ~ ^ ^ AA' 4- BB' ^" ■''* ''^ A3) - f (^)

(*) Note tirée du Manuel des Candidats à t École Polytechnique. (*'") Le lecteur est prié de faire la figure.

Par suite, si OS est désigné par |3, ,

Les formules (2), (3) (*) résolvent complètement la question proposée : en effet, \q point-racine R est compris entre les points T, S, et ceux-ci le sont entre A' et B',

II. Limite de l'erreur commise. La racine inconnue a étant comprise entre ^'-i et (3> > la différence (5, — a. est une limite de l'erreur à laquelle donne lieu la méthode de Newton. Or,

OU

f^P)-fky-)\

Pour simplifier cette expression , observons que

donc , en posant

nous aurons

'* fix) r(a) + £9(a)'

(*) Elles sout connues depuis longtemps; mais je crois qu'il n'en est pas de même pour la relation (C).

('*) Le développement est limité, car f (x) est un polynôme entier.

f ia\

OU enfin , à cause de /î = — 7— :

m. La formule (4) permet de résumer, dans les termes suivants, la marche à suivre pour approcher indéfiniment d'une racine a de l'équation f [x) = 0, après que celte racine a été séparée :

Connaissant deux quantités cf., fi entre lesquelles tombe la racine a, et qui ne comprennent aucune racine, soit de f (x) = 0, soit de f (x) = 0, on désignera par a celle de ces deux limites qui rend f (x) et f (x) de même signe; et, pour avoir une valeur plus approchée a,, on emploiera les formules

fi^-)

En désignant par • la di/férence positive ou négative ,S — a, c'est-à-dire /'approximation de a^ et par h, l'approximation de a., on aura

Cette formide, dans laquelle ^ (a) représente

indique aussi avec quel degré d'approximation on, doit culciiler h.

Opérant sur a^ comme on a opéré sur a, un trouvera une valeur x^, encore plus approchée de la racine a; et ainsi de suite.