IV. Application. L'équation de Lagrange

a une racine comprise entre 1,35 et 1,36. D'ailleurs, quand .t varie entre ces limites , f (x) = 3a'* — 7 reste constamment

négative , et f" {x) = Qx reste constamment positive : la méthode de Newton est donc applicable. En outre , la première limite, 1,35, rendant f{x) et f" {x) de môme signe, nous prendrons « = 1,35, d'où

c ^ 0,01, /"(a) =0,010 375, /'(^) = - 1,532 5, (a) = 4,06. Substituant dans les formules (A) et(C), nous aurons donc 0,010 376 1,037 5 1,037 5 4,06

Le premier facteur de ?, est à peu près égal à jttt^. , Tautre

est moindre que 3; donc £, < 0,000 2. Ce résultat montre qu'il suffît, dans ce premier calcul, de déterminer les trois premières décimales de la valeur de h : si l'on en calculait quatre, on ne serait pas si!irde la dernière. Effectuant, on trouve h = 0,006; puis

Ces valeurs donnent

a.' = 1,838 736 , a,' = 2,493 326 016 , Aa.) = 0,001 326 016 , p (a,) = — 1,483 792 , cp (a,) = 4,069.

Par suite,

D'après ce nouveau résultat, on doit évaluer ht à moins de 0,000 01 : /«. = 0,000 89; puis

On trouve, de la même manière,

/?, = 0,000 005 867, a, = 1,356 895 867, s, = 0,000 000 001; fh = 0,000 000 000 892 209 44, e, < 0,000 000 000 000 000 01 ; X, = 1,356 895 867 892 209 44.

— lOS

Cette valeur de la racine est exacte jusqu'à la dix-senliônie décimale.

XXXM. — AUTRE MODIFICATION A LA Mi-THODE DE NEWTON ( 185a).