Si, dans l'équation

h' Il '" fia) + hf (X) + 7— r/"'!^) + ■ • • + -— /■"' (a) = 0 ,

on conserve les trois premiers termes, on obtient

puis , en appliquant la méthode des approximations successives (*) ,

fia.) \ [r(«) ]'/•"(«)

f'ix) 2 |/'(a)]

La formule (2) de la page 105 peut donc être remplacée par celle-ci :

dans laquelle nous avons écrit /', /', f au lieu de f{^) , /'' (^•) ,

II. Cette nouvelle formule, qui donnera souvent une valeur fort approchée de la racine inconnue a, est susceptible , comme la formule de Newton, d'être interprétée géométriquement. En effet, si Von remplace la courbe dont l'ordonnée est f (x), par une parabole osculatrice, ayant son axe parallèle à l'axe des x , l'abscisse du point d'intersection de ces deux dernières lignes sera précisément cf.,. C'est ce qu'il est aisé de vérifier.

(*j Manuel i-e$ Candidas , tome I, p. 25.

IIÎ. A2)i)lication. /'(j) = x' — 1j +7 = 0. Nous prendrons a = 1,357. Cette valeur donne

/■= 0,000 153 707, /' -. — 1.476 653, f" = 8,142: puis

j P ,. 0,000 153 707 , . X ^ 1 ' A AAAJ n.

La fraction ■ est a peu près égale a 0,0001. De

même , . "*' . ^^„ = 3, en valeur approchée. Par conséquent,

le dernier terme de «. diffère peu de 0,000 000 03. Il sufîît donc de calculer chacun des deux derniers termes avec neuf décimales exactes. A ce degré d'approximation,

puis

a, - 1,357 — 0,000 104 16-2 + 0,000 000 030 , OU

Cette valeur est approchée à moins de 0,000 000 000 11 (*).

\ *) Voyez p. 107.

XXXilI. — SUR L.V SOMME DES PUISSANCES SEMBLABLES DES NOMBRES NATURELS (I800) (*).

La plupart des Traités d'Algèbre donnent la relation générale

dans laquelle S^ représente la somme des puissances p des n premiers nombres entiers. Cette relation permet de calculer, assez rapidement, les valeurs de S,, S^, S^, S,; mais elle devient presque illusoire dès que l'indice p surpasse 4. II y a dix ans, M. Puiseux, probablement frappé de cet inconvénient, donna, dans le Journal de M. Liouville, la valeur de S^, en fonction explicite de n et de;;. Malheureusement, la méthode employée par ce savant Géomètre est assez compliquée (**); en outre, les valeurs qu'il trouve pour les coefficients de S^,, très-satisfaisantes en théorie, le seraient fort peu s'il s'agissait de passer aux applications numériques (***).

La méthode suivante, dont le germe se trouve dans le grand ouvrage de Lacroix, sera peut-être, à cause de sa simplicité, capable d'intéresser les Géomètres.

(*) Les quatre Notes suivantes ont paru dans divers recueils. Si je les réimprime (avec quelques modifications) , c'est parce qu'elles me semblent pouvoir être regardées comme les prolégomènes d'une théorie des Nombres de BernoulU.

(**) Cette oliservation, qui n'est pas une critique, s'applique également au Mémoire de M. Pépin, inséré dans les Nouvelles Amiales (janvier 1856). Du reste, l'auteur, dont je n'ai connu le travail qu'après avoir terminé le mien, dit expressément , en j)arlant de la formule trouvée i)ar M. Puiseux : " l'expression V générale de la fonction w^ ^ est fort mal appropriée au calcul.

(*'*) Par exemple , le coefficient 350 serait donné par ce calcul :