OU

71» =r >? (n — 1) (»i — 2) {n — 3) -r 6?? (n — 1) (>i. — 2) ■+- lu (n — 1) -t- 77.

La loi des résultats est actuellement évidente; de sorte qu'en désignant par An,p le nombre des arrangements de n lettres prises ;; à p, et parBp, C^ ,... Ip , (/; — 2) coefficients, indépendanis de 7i , on peut écrire :

'hP y 1. /J-i p ri, y- I

IL Pour démontrer, par le raisonremenl connu, la généralité de cette relation, et pour trouver la loi des coefficients, supposons

nP~' =A +B "^ A , + C A

et multiplions les deux membres de cette égalité par

nous aurons

HP = A +(p— 1)

-f--. + 2K lA^ I '^";

et, par conséquent

B =B + ip— 1),

III. Ainsi que l'a fait remarquer Lacroix (*), le calcul des coefficients Bp , C^ , . . . , Lp est fort simple. En effet, si l'on suppose , successivement

on trouve , par les formules (B) :

(•) El aussi M. Pe

pit;.

Il résulte, de la formation de ce talDlcau, que le 1'""' terme d'une colonne verticale quelconque est égal au terme écrit audessus, augmenté de l fois le terme placé à la gauche de celuici (*). Par exemple,