I. La formule

donne, en supposant Uq =■- f :

On conclut , de ces deux équations ,

'-'/ip.

{n + 1) A" (l") + nX"- (f ) = (n + 1)'^"= - "(/i+1);?. n'

fn + 1

■T-fl

(M-lp ....np[(« + l)»»(;2 l)12^ ±[(U-f l)-;;]!**

Donc

A" (f ^ j - (;< + 1) A" {f)+ nA""' ( !■" )

{') Ou peut rapprocher le développement (E) de celui qui résulte d'une remarquable formule due à M. Prouhet {Coms d'Analijse de Stunn, t. II, p. 357) (octobre 18GG).

II. La relation (A) donne le moyen d'obtenir, de proche en proche, et par un calcul assez simple, les différences successives de l-, i'\ 1', 1\ ....

En effet , si l'on prend les nombres naturels :

dont les différences premières et secondes sont

on en conclut que les quantités

1', A(l'), à'iV)

ont pour valeurs

Multipliant ces derniers nombres, respectivement, par

1 , -\ 3 , ce qui donne

on a , par la formule (A)

Ainsi, la quantité 1-, et ses différences successives, ont pour valeurs

En continuant, on forme le tableau suivant (*) :

(*) Ce tableau est tiré, en grande partie, d'une brocliure intitulée Table des quarrés et des cubes , par C. Séguin l'aîné (1801). L'auteur, après avoir donné, ■ sou.s forme ernjiiri(ine , la relation (A) , indinue le développement de

ordonné suivant les puissances de n. Je dois la connaissance de ce curieui o\)\\icule, très-rare aujourd'hui , au savant M. Tei'quem.

111. Dans une Note sur la somme des puissances semblables des nombres naturels, insérée aux Nouvelles Annales de Mathématiques (*) j'ai démontré la formule

(«+ 1 \r, in — \\..Jii — p -j- 1)

-\ ~ in -+■ \.)n (u — \) ... in — /) + 3) + ..

(*) Tome XV, p. 230. — Celte Xole est celle qu'on vient de lire (nov. 1S66).

Les coefficients Ap , B^^ , Cp , tenues dans le tableau suivant :

. . ont les valeurs con-

yi.