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Avec un peu d'attention, on reconnaît que les nombres placés en diagonale , dans ce second tableau , sont égaux à ceux qui constituent le tableau précédent, divisés par les produits 1. 2, 1. 2. 3, 1. 2. 3. 4, ... . Autrement dit :

6 = -iA'(l'), 25=|a'(1'), 90 = ^A'(r),....

De là résulte que l'on peut écrire ainsi la formule (B) :

Om- I) . '2. 3...(/> — 1)

Celte seconde expression de S^, (trouvée par M. Puiseux) va nous donner les Nombres de Bernoulli sous une forme beaucoup plus commode, pour le calcul eflectif, que toutes celles que Ton connaît jusqu'à présent.

Eu effet, le (p — 4)" Nombre de Bernoulli est égal au coefficient (le n, dans le développement de S^, ordonné suivant les puissances de a (*). Donc, d'après réquaîion ( C) :

ou , pour plus de régularité dans la notation ,

B„ = 5-^^(1') +i4=(l")-- ■■±^j^,AUi\ (D)

IV. Cette relationg énérale donne successivement, d'après le premier tableau :

^' ^2 3 ti'

etc. (**).

(') Lacroix, tome 3^, p. 84.

("j Uu sait que Bç = 0, si l'indice q est pair.

V. Le Tableau des quarrés et des cubes donne, sons forme empiriqne, une règle qui équivaut à la formule

laquelle est un peu moins simple que la nôtre. Pour en vérifier l'accord , il sulïil de prouver que

Or, la relation (A) peut être écrite sous cette forme :

à^a'^'j + y '(!'')- (;i + i,[A"(i'o + A" 'il')],

puis sous celle-ci :

V" "' ' et'' \ .

donc réquation (F) équivaut à