A (2' )- A'(2'' ) + • • • qr A
Enfin cette dernière relation est identique, si l'on a égard à la formule presque évidente :
u, — A(/, + A'u, — • • -L A'' î<, = Ug rb A''*"' (/(,).
XXXV, — SUR LES NOMBRES DE BERNOULLI , ET SLR QUELQUES FORMULES QUI EN DÉPENDENT. — (mAI 186:2).
I. Développement de 773-7- — On peut, de bien des manières, prouver que, pour des valeurs réelles ou imaginaires âex dont le module soit suffisamment petit, l'on a
les coefficients A, , A^ , A^ , . . . étant donnés, en fonction des Nombres de Bernoulli, par les formules :
^'T2'^'=^ UUr'^" "^ 1/2.3.4.0.6'- •• ^^^•
II. Développement de x cot x. — Si, dans l'équation (A), on change .T en .r J/— 1 , on obtient, comme l'on .sait,
X cot ,r = 1 — i A, ,ï* + i' A, .r' — i' Aa x' -{-... (B).
m. Développement de ~^' - On a, identiquement ,
Mil ,r n »
cot -- X — cot .r ^
2 sin.r '
donc , à cause de la formule ( B ) ,
^v^^'^^ ^-~ '^^ ^' «'-2 (2'- 1) A,.»;* +;2(r- 1 j A.i--...(C). IV. Développement de tang x. — On a aussi cot a: — 2 cot 2 a; ^ tang x ;
- 122 ~ d'où l'on conclut tang.r= -i(4— 1) A, a; — 4'- (i'— 1) A,x" + 4^-4' ~ 1) A, x'... r}{b).
\ . Développement de • — Parmi les différentes ma-
nières d*y parvenir, la plus simple (quant à présent) nous paraît consister à écrire
cos o; - 1 . iJ 1 . 2 . 3 . 4 1 . ;2 . 3 . i . 5 . tj
OU
11 résulte, de cette égalité :
l>.-'=0- l>.-i^P.+ l=0, P.-«-|p. + J»P,-l=o, ■ . .; et , en général ,
Conséquemment
puis
1,1. 5 ^ 01 i 383 cosa; 1.2 1.2.3.4 1 t» 1 8
/« x\ VI. Développement de tancj \, + ^/- — L'identité
tang - -4- -- = tang.r h
° \4 2/ cosx
(") M. Sclilômilch s'est occuiié de cette série (Archives inat)t(itnatiques de Grunert, tome XVI;.
donne, au moyen des formules (D), (E), en mettant poulies coefficients A leurs valeurs :
