C.„-, +^ TS
^ ^' B'. = -ii- (H']
Celle-ci serait précisément la relation connue, si l'on supprimait les accents, cl si l'on écrivait, au lieu du second
. 2 n - 1 membre, — -■
IX. Détermination d'une intégrale définie. — Dans les Mémoires de l'Académie de Turin (1810), M Plana démoulre la formule
(*) Tome III , p. 84 (1810). Celles ci renferment une faute de signe : au lieu lJe|^ — I. on lioit lire , parioiit
Il en résulte, à cause de la relation générale dont il vient d'être question,
rit r2 // ;.'. -1 iln{'2>i.— \){''2n — 2) ?n- 3
r~' + . . .rb-,- l
e>, -1 IT ~ 1 . iî . 3 ^ ' I
4(2«+ i) La quantité entre parenthèses est égale à
Si l'on suppose t = cotr^, on arrive à la formule
,-^2KC0t.|^^i,-,-" + -=^ i(2» + 1)
dans laquelle on doit prendre le signe + si n est impair. X. Autres intégrales. — Véquallon (H), traitée de la môme manière, donne
s'mi II cdx n
De plus, la comparaison de cette seconde formule et de la précédente conduit à ce résultat remarquable :
/(jTTcotx , — TTcota\ sin'"-+--a -i
XI. Si, dans la formule (L), un suppose 72 = i,2,o,. ..'2p, on obtient
rfa
(^2 7rCOt«j,gi,j.^
in-
cos!2 n a 1
si II-" a 4 .^«d.\-iH — 1 ^
La valeur du second membre est
ou
al 3 5 "^7 ' ip + i 1 '
D'un autre côté, à cause de la formule connue :
.-rsina-i-x"sin2a+...4-a:-''siii2/)a=.r on a
siiifl — .'C-''sin(2p+l)ft+.r-/**-'sin2/?a 1 — 2^ccosrt -f .r' '
sin2//a 1 sin2asiii"'+-a — sin2 asin(-i;;-f-2)a + siii4p«
sin'-"a sin^^'c.
1 — 2 cos 2 asin* a + siii' ;
Par conséquent ,
r/a siii2asiii'''-^-'a— sin'asin(-i/; + 2)a+sini^j:
/g27tcot«,\ jj^4/.+2^ 1 — 2cos2asiii=a + sm*a
On peut observer que, si le noiiibre culicr ]) augmente indéfiniment , le second membre teiid vers -^ — . Il en est donc de même du premier membre, bien que la fonction contenue sous le signe / n'ait aucune limite déterminée.
XXXVl. — SUR LE C.VJXl'L DES NOMBRES DE RERNOULLI. — (jUIN 1864.)
Les relations nombreuses qui existent entre les Nombres de Bernoulli donnent lieu à des calculs pénibles , parce qu'il s'y introduit , nécessairement , des fractions de plus en plus compliquées. Dans la présente Note , j'établis les formules
où P, , P5 . . . , Pun-i , . • . , sont des nombres entiers impairs. I. En partant du développement de • /,. , on trouve (*)
tang.:r = 4(i-ii p; a:-... + ... ±4'(4"-l)p^-|— ^ '^^-""'^F... (A)-
Pour développer directement tang x, il suffit de prendre l'équation
y cos X = si II .r ,
et d'employer ensuite la formule de Mac-Laurin. On obtient ainsi
tang.-r =y,x + y,jJ^^ + ... + y,,^^ ^__i:"____.+ ... /b).
.V, > !/. ' Vs' ■ • ■ ■> ^'t^"'' ^^^ nombres entiers , déterminés par la relation
!■■ : — Il , . — . . . dr -— // , = :iz 1
