II. La comparaison des formules (A), (B), donne

D"iin autre côté, à cause des deux relations :

M-i in (in — 1) 2/? ^ 2;?

^-". ■ -^ 2.3 ^^'.-3+.-- + Y^^'- 2'(2;rM)^ ^'

on a

(4.-ljB,., +(r '-..lil^'B., ,4-...+ (4 l)|B,= i;

d'où, en posant

''--^-^il^ œ,

III. Si, dans la dernière équalion, on suppose « = i , ?i = 2, w == 3,..., on trouve

P, = 1, P, = 1, P, = 3, P, = 17, P, = loo, P„=2 073,...;

en sorte que les premières valeurs de P:,.-i sont entières. Pour démontrer que toutes le sont, je m'appuie sur les remarques suivantes :

1° A cause des formules (D), (E) : n

Donc, si P::„i est entier , ce nombre est divisible par tous les

diviseurs impairs de n (*).

N 2° -- étant la fraction irréductible équivcdente à

Ïia + O) ^ç/v*)

le dénominateur D divise a et h; d'où il résulte que C se réduit à un nombre entier , lorsque Si et b sont premiers entre eux.

3" Le terme général de l'équation (F) est, abstraction faite du signe,

ï {'2p + 2) r {în — '!]) + 1) -" -"-p - ' ^ ''

Le dénominateur de la fraction irréductible équivalente au coefficient de P;„n^.i est un diviseur commun à 2]; + 1 et %i — 2p, ou commun à 2/; + 1 et n — ]; (2°) ; si donc ^■2n-2p-i est un nombre entier, ce dénominateur divise P2„o^i(l°).

4° Gonséquemment, si P, , P., P,, . . . , P.„3 sont des nombres entiers, P^,,-! est un nombre entier.

(*) Autrement dit, si n = 2'')i', n' étant impair , P.,^ ^j est divisible par 7i' {*') a et 6 sont des nombres entiers.