IV. Les nombres eiUiers

r(2« + ij p r(2/j + \)

r(2/j + 2) r(2;i — 2/j + 1) -"--/'-' ' r {2p + l)r{2« — 2/; + Ij

sont tous deux pairs ou tous deux impairs , lorsque Pj„->-i est impair. Si donc P' , P^ , P:>„-3 sont impairs ,

p = '2ii{'i,i-\} -""' 1 . 2

^ 1.2. 3. 4 + ...+ -Y;^--l-l(.nod.2);

OU, d'après la formule du binôme,

P,„, = 2'" ' — i = — i(mod. 2):

P2„-i est impair.

V. Remarque. — D'après la formule (D), on pourrait calculer les Nombres de Bernoulli au moyen des nombres entiers ?/,, ij^, y^,...; mais ceux-ci croissent beaucoup plus rapidement que P, , P^ , P,...

Addition aux deux dernières Notes. — (Novembre 1866.)

I. Développement de tg ~ x. — La formule(D) (p. 122) équivaut à

'■' ^il.2.3.r ' ••

Soit,

comme dans

la Note XXXVI,

la formule devient

OU , par le changement de x en - x

II. Développement de kf - .r. — A cause de P, = 1, on conclut de l'équation (A) , en prenant les dérivées des deux membres :

^ „1 2 2^2' iÂ' '2.3.i.6 2.3...(2(/— 2)2(y'

2 cos" -X

ou

IH. Calcul des nombres P. — Le calcul de ces nombres, tel qu'il résulte de la relation (F) {p. 128), exige des additions et des soustraclions. Il serait abrégé si, pour déduire wn de ces nombres de tous les précédents, on n'avait à faire que des additions. Une relation qui conduit à un tel calcul se tire de la comparaison des formules (A), (B). On trouve en effet

^^-Ifn . 2^=2^-1) pp ^ 2(/(2r/-l)(2r/-2)(2^/-3)

p ='/±±ip +":>-' / P;p., ..+ -^^7 ^'p y'-' /-'P. p, .+

3 . 4 -i~^ ^ -î~'J Remarquons maintenant que le nombre des termes conte-

nus dans la parcnibèse est égal cà q. Par conséquent, si q est pair :

p .,+i,rp +Mizi)pp' ^...V2r/(2v-l)-(V+3) \t»,

et , si q est impair ;

^^ig+i-W' i;|^i;,,i-^ 3 . 4 ^ 'î-^ 3 . 4 ... (r/-l) î-^ î+-

2 3 . 4 ... ((7+1) En partant de

p, = 1 , p, = 1 , p, = 3 , P, = 17, Po = 155 , P,. = 2 073, on trouve, an moyen des formules (D)> (E) :

P.3 = 38 227, P„ = 929 569 , P,, = 28 820 610, (')....; puis, par la relation (1) ;

1 1 p 1 p ^ p - ^ p ^ÎL

" p iËI p '^3 867

ainsi, chacun des nombres considérés admet un diviseur j-)/-e/)i«e>', delà l'orme

2'' dû. 1. Cette propriété est-elle générale?

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