XXXVI. — SUR LA THÉORIE DES NOMBRES
I. PROBLÈME I. — De 1 à n (inclusivement), combien y a-t-il de nombres non divisibles par des nombres premiers donnés ,
a, fi, y, ... z^
Dans la suite
les multiples de a sont
il y en a [-]. Gonséquemment , le nombre des termes de la suite ( 1 ) , non divisibles par a , est
N. =. n - ii) (2).
Supprimons maintenant les multiples de (3, premiers avec a. D'après la formule (2) , appliquée à -^ , ceux-ci sont au
nombre de (0 — ( W Mais , par un théorème relatif à la division ,
Retranchant de N^ la quantité G] — f-^j , nous trouvons
{*) Pour abréger , je représente généralement par j-j le quotient entier de a par 6, ce quotient étant pris par défaut. Cette notation équivaut à celle-ci : E (--J , adoptée par Legeudre.
donc, pour le nombre des termes de la suite (1), premiers avec y. et avec ,S :
En continuant , on voit que le nombre demandé est
Soient, par exemple :
n = 60, a= 5, (3 = 7, 7 = 13; on aura
En effet, de 1 à 60, il y a 37 nombres premiers avec 5, 7 et 13, savoir :
II. REMARQUES. — 1° Si a , j3 , '/ , . . . 7: 8oni tous les nombres premiers qui ne surpassent pas n , N = 1 .
2° Si n = a" (b^ y' . . . tl^ , N est le nombre des entiers inférieurs et premiers à n : on trouve
N - «"-' /3''-' /-' ... T^-' (a- 1) {{6-\) (y -1) (tt- 1) . . (*).
3" S/ n = 1 . 2 . 3 . . . i, 6/ que tt soit le plus grand nombre premier qui ne surpasse pas ï,
(*) Cette démonstration d'un théorème connu ne diffère pas de celle que j'ai donnée dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (tome I^ p. 4G6). La Théorie des Nombres (tome I, p. 8) en contient une autre , peu satisfaisante.
ÎIî. PROBLÈME II. —De n + \ à n^ (inclusivement), cofnhien y a-t-il de nombres premiers?
Soient a, (3, 7, ... tt les nombres premiers qui ne surpassent pas n. Les termes de la suite
non divisibles par ces facteurs premiers , sont ceux que l'on cherche (l'unité exceptée). Donc
Si, par exemple, n = 12 :
lin iiu\ , nu\ (iu\ /ui\ (iu\l
ou enfin
(*) La fonction numérique —•• ç • ■ • > lue nous représenterons
par /"(^J, a été calculée, par Legendre, jusqu'à .i = 1229. M. Tchébychef a prouvé que la valeur de /"( ^) est , sensiblement ,
lOg. TI '
C étant une constante (Journal de Lionville , tome 17). Ou doit observer, à propos de la Table de Legendre, que cet illustre Géomètre ayant fait abstraction du facteur premier 2 , les nombres de la Table sont égaux à 2 f (-:'•).
En effet, de 13 à 144, il y a 29 nombres premiers; savoir :
IV. Une question très-diflîcilc, résolue seulement par M. Tchébychef (*), est celle qui consiste à déterminer combien il y a de nombres yremiers inférieurs à une limite donnée. Si, dans la formule (A), on remplace les entiers
par les valeurs exactes :
on a , Q,om\\\Q première approximation ,
De même ,
N' = — 1 -+- H= /*( tt) (B').
V. Pour plus de régularité , représentons par P {n) la quotité des nombres premiers qui ne surpassent pas ?;. Alors la formule précédente devient, en négligeant le terme ( — i) :
Cette relation, beaucoup moins approchée que la formule empiricjue de Legendre et que la formule démontrée de M. Tchébychef, a cependant quelque utilité, au moins jusqu'à une certaine limite. Si l'on prend les valeurs de P (») dans une table de nombres premiers , elle conduit au.\ résultats suivants :
(') M. Lebesguo , très-compétent sur tout co qui tient à la Tiiéorie dos Nombres, ne parait pas convaincu de ce point (Exercices d' Analyse ntunérique , p. liAj.
GO
Comme termes de comparaison, nous donnons ici les valeurs de P (n-) qui résultent des Tables, de la l'ormule de Legendre ou de la formule de M. Tchébychef (*).
(*) La formule de LegetiJre (Th. des Nombres, tome II , p. 65) est
'il
\ogn— 1,083;;G '
et la forunila de M. Tcbébyelief P{n)
loy H 1
Il est assez curieux que celle-ci soit moins approximative que l'autre.
Tables
