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YI. PROBLÈME III. — De n -\- 1 à n + i (incliisivemenl) , comhïen de nombres non divisibles par les nombres premiers ^, f^, 7,.. .^?

En nous reportant au Problème I , représentons par N (n) ce que nous avions simplement appelé N ; le nombre demandé sera

VII. PROBLÈME IV. — "ket y. étant deux nombres premiers consécutifs, combien y a-t-il de nombres premiers entre ^lefi y.1 (On suppose 2 / > y) (*).

(*) On sait qu'entre a et 2 a — 2, il y a au moins un nombre premier, a étant plus grand que 3.

De i à 2 y., les termes non divisibles par 2, 3, 5, . . . ^, ysont premiers ; car tout nombre non premier, compris entre ces limites, admet un facteur compris lui-môme entre 2 et (j-. Le nombre de ces termes est N (2 y-). Semblablement, entre

1 et 2>., ily a N (2 >.) nombres premiers, autres que 2, 3, 5,... >., p.. La réponse à la question est donc

les diviseurs étant 2, 3, 5, . . . ?. , a. Soient, par exemple ,

De 4 à 2 654, les nombres non divisibles par 2, 3, 5,...l 361

sont :

en tout, 166 nombres premiers. Ainsi, N (2 ?) = 166. De même, N (2 p.) = 180. Donc

En effet, les nombres premiers compris entre 2 654 et 2 722 sont

Soient encore

On trouve N (2 /) =. 381, N (2 p) = 381 ; donc a? = 0. En effet, entre 6 406 et 6 418, il n'y a aucun nombre premier.

Vin. PROBLÈME V. — Dans une progression par différence donnée, trouver n termes consécutifs, respectivement divisibles par n nombres

- l'iO —

premiers donnés. (On suppose que le premier terme e( la raison sont des nombres entiers, premiers entre eux). Soient les n lermes inconnus :

fl. + (/ + 1)0, a + (/ -+- i>j 0, a + (/ + 3) o, . . . a + (/ + n)^j,

qui doivent être respectivement divisibles par les n nombres premiers :

Pi , /'. , )h, P'> .

Dans chaque cas particulier, les n équations

a + (/ + 1 )') = />, .r, , a + (i + 'i)^^ th a\^, ..,, a + (l ■{■ ii'yl = p,.. x„ (\)

fiTont connaître la valeur générale du terme a -\- {l + 1)3,

ÎX. REMARQUES. — io Lcs équatious (1) exigent que o soit premier par rapport à tous les diviseurs donnés.

2° On trouve que le premier terme, « + (/ + \)o, doit avoir la forme

6 étant un entier quelconque, et M désignant le plus petit multiple des nombres premiers donnés (*).

3" Le nombre n est quelconque ; donc, dans une progression donnée, on peut trouver autant de termes consécutifs qu'on le voudra, qui soient divisibles par des nombres premiers donnés.

A" Par suite, la différence entre deux nombres premiers consécutifs peut dépasser toute limite donnée.