XIII. EXEMPLES. — 1" Les nombres consécutifs

étant divisibles par

sans que Gl ou (37 soit divisible par aucun de ces facteurs premiers ; prenons a = 13, "> = 11. L'équation (3), qui devient

llt—2[0x = 658, donne

La suite la plus simple, répondant à 0 = 0, est donc 1102, 1113, 112 5, 1135, lliG.

Ces nombres sont divisibles par 2, 7, 2, 5; 3; mais 1 091 et 1 157 n'admettent aucun de ces diviseurs.

2" Trouver sept nombres impairs consécutifs, respectivement divisibles par

Si l'on représente ces nombres par x + 3, x + ^, x + 1, a; + 9, a; +11, ^+13, x + io, on devra prendre , pour x, un multiple pair des nombres pre-

micrs donnes. Les diUercnlcs siiiles qui salisl'onL à la question sont donc, à cause de M = 3 . 5 . 7 . 11 . 13 = 15 015 :

30 033, 30 035, 30 037, 30 039 , 30 Oil , 30 043 , 30 045;

De plus , chacune de ces suites a le nombre maximum de termes.

XIV. La solution précédente, et les exemples à l'appui, supposent que les diviseurs premiers donnés sont toujours pris dans l'ordre où ils l'étaient primitivement. Si cet ordre est arbitraire, la conclusion trouvée ci-dessus (XII) ne subsiste plus. Par exemple, les nombres impairs consécutifs

sont divisibles, chacun, par un des nombres premiers

tandis que 1 et 17 ne le sont pas. Mais, si l'on suppose ces facteurs premiers rangés dans l'ordre suivant :

le nombre maximum des term.es, au lieu d'être 7, devient 10. Les suites cherchées sont alors, à cause de ce changement dans les conditions du problème :

(*) Cet ordre est admissible, jjarce que Jes multiples de 3 doivent revenir de trois eu trois ; ceux de 5 , de cinq en cinq , etc.

tilO 041 , tilO 0-i;], (ilU Oio, 610 047, iilO 049 , 610 Ool , 610 0o3, 610 Ooo, 630 057, 610 050;

XV. THÉORÈME 1 (Théorème de Jacobi). — Toute progression par différeuce, dans laquelle le premier ternie et la raison sont premiers entre eux, contient une infinité de termes non divisibles par un nombre premier donné.

Cette proposition résuite des deux lemmes suivants, qu'il suffit d'énoncer :

1" Le premier terme a et la raison à étant premiers entre eux, deux termes consécutifs quelconques sont premiers entre eux ;

2'^' Sur deux termes consécutifs, il y en a au moins un non divisible par le nombre premier /;.

XVI. REMARQUES. — 1° Si p divise d, auciui terme n'est divisible

par 0.

2" Si p divise a , les termes divisibles par p sont

(i, « 4- /w, a + ip^ , a + 3/;gi,...

3' Si p ne divise ni « ni a , un seul des p premiers termes est divisible par ];. Soit a -h io ce terme. Alors tous les termes divisibles par p sont compris dans la formule

M étant un entier quelconque.