XVII. LEMME. — Soit une progression

a, rt-f a, «4-2;?, «. + 30,...

dans laquelle a est premier avec o et moindre que o. Si l'on prend.

(*) Ces exemples sont tires d'un remarqualie Mém;.'ire de M. Desboves (A'oitvelles Annales, toine XIV).

rlans cetie pi'ogr('ssi(iii , les Wnni's divisibles par un. nombre premier y>. les quotienls forment N)ie seconde progression

a\ a' + rj, a' + io , a' -\- 3o ,..

dans laquelle a' est premier avec o et moindre que à. D'après la dernière remarque ,

, a + io

i étant inl'érieur à p; donc

\!l, à plus forte raison ,

D'un autre côté, si a' et d avaient un facteur commun , ce facteur diviserait a ; etc.

XVIII, THÉORÈME n. — Si , en parlant d'une progression a , a + 0 , a + id ,,., on forme , comme il vient d'être dit , la progression

puis, qu'au moyen de celle-ci, on passe à une troisième progression

et ainsi de suite , on finira par retomber sur la progression piimitive. De plus, le nombre des progressions différentes divise le nombre des entiers inférieurs et premiers à d.

i" On vient de voir que les termes initiaux a', a", a"',... sont, comme a , inférieurs et premiers à o ; donc ils se repro-

duisentpcriodiquementjCM tout ou en partie. Soit a'"*^ = a"\ A cause de

on a

a ' + \i — i équation absurde, à moins que

Ainsi, quanddeux quotients a^'" , a " sontégaux, les quotients

a'"'~'\ di"" \ qui les yrécèdent respectivement , sont égaux : a fait donc partie de la période des quotients. 2" Soient

pa' = fl 4- là, pa" = fl' + t'a,... pa = /'"'^ + i ""'^ a (1),

« étant le nombre des termes de la période. On conclut, de ces égalités ,

ri-I .n-1) .,

a p i '+...+ pi' 4- i - - - .

Si donc, dans le système de numération dont la base est p, on réduisait en décimales (*) la fraction ^ , on trouverait

a „ .n-l) .fn 2) ., . .'n-1) .'«-2)

Or, on sait que le nombre n des termes de la période déci-

(*) C'e^ârdire en tractions de la lonue — -

— lis

maie est un diviseur de (p {d), (r,{ô) désignant le nombre des entiers inférieurs et premiers à ^ {*).