XIX. REMARQUES. — 1° A causc des égalités

sont les restes de la division, par o, de

pa , pa ,..., pa'", pa''

les quotients correspondants sont

2" D'après la théorie des fractions périodiques , la période formée par les progressions a un seul terme s'io z= jj — i ; cl, s\ d = p ^ 1 ^ elle en a deux.

XX. APPLICATIONS. — 1" a = 4, à =9, j> = II. Les progressions sont

2 , ïî , 20 , 29 , 38 , 47 , 56 , 65 , 74 , 83 , 92 ,.

8 , 17 , 26 , 35 , ïi , 53 , 62 , 71 , 80 , 89 , 98 ,. 4 , 13 , 22 , 31 , 40 , 49 , 58 , 67 , 76 , 85 , 94...

La période a 6 termes , et 6 = 9 .^ = ip (9).

(*) KduveUcs Aiiiu/lcK . lome I . p. 16o.

— Ii9 - "2" a — 7, 0 -~ '20, p — 3. On trouve

Ainsi, n = 4 , ^(.)) = 20 4'^

3o rt = 7 , 0 = 10, /> = 1 1. La période doit avoir un seul terme (XIX, 2°). En effet, de

on tire la progression

4" a = 1 , d =. 12, p = 1!. L;i première pro^ifression étant

on en déduit

0 , 17 , 29 , 41 , 53 , 65 , 77 , 89 ,... après quoi l'on retombe sur la première progression.

XWVII. — SLR UNE APPLICATION DE LA FORMULE DU BINOME AUX INTÉGRALES EULÉRIENNES (1858) (*).