On a

De plus,

l\k + \)ï{l—li^i) / (/-A-)B(/c+ !,/—/(;■),

^/H-/'/-n (/ /,-) B a' +ft+ 1, /—/£)■

(*) Un extrait de cette Note a paru dans les Comptes-Rendus (tome XLVII).

Au moyen de ces valeurs, l'équation (1) devient

B{k+\,t—k) ^ lH — kJ'{l'-[)ii-k)[l~k-i)

Bil'-hk+\,l—k)~ ik+i l.â {k+\){k+2}

ou , en posant

B (p, m) m p — ci m {m — 1 ) (p — (jj jp ^ g + \) B (q, m) ~ 1 p 1 . "2 p {p + \)

111. L'égalité (A) a été trouvée en suj^posant /, /' et k entiers positifs. Par conséquent , elle paraît soumise à de nombreuses restrictions. Néanmoins elle est générale, c'est-à-dire qu'elle subsiste lorsque/?, q, m étant des quantités positives quelconques, le second membre est un polynôme ou une série (*).

Pour démontrer cette proposition, évidente sip = q, nous distinguerons deux cas :

1" /; > </. On a

P — g Ij ip — g + 1 , g') p — q + \ B {p — q -h 2, q)

B ip — q, q) ' p + \ B (/) ~ q + \, q)

, etc. ;

(') Cette série est toujours convergente. En effet, lorsque p surpasse q, les termes du second membre sont, en valeur absolue, respectivement moindres que ceux de la série

yn ',)i (ni — l) m (m — 1) (ni — 2)