T + —TT

laquelle est ::onvergente (Comptes-Rendus, t. XLV ; et. .si q surpasse p, les mêmes termes, pris encore en valeur absolue, sont, à partir de Van d'eux, respectivement moindres que ceux de la série ia) . multipliés par un facteur constant.

donc le second menibro de la jormiile (A) égale

' ' ---'^l 0,^-M GfrfS

Bip — q, f/i

Ainsi, réqualion(l) se réduit à

Mais, en vertu d'un théorème d'Euler :

B (/;, m) B (/;, m ■+■ q) B iq, m) B (Y/, m + /;) '

B un -f- (/, p — (/) B (m -f- </, />) B(f/, P — q) ~ B((/, w -f- /)) '

donc l'équation (3) est identique.

^^ p <.q. L'équation (A) étant démontrée pour les valeurs de q inférieures à ;?, il suffit de faire voir qu'elle subsiste quand on y change q en q + 1. A cet effet, appelons 9 {m, p, q) le second membre : on trouve aisément

cp {m, p, q) — (L ())i, p, q -h i) = -© (w — 1, /j -+- \,q-]-\) U).

D'autre part ,

Bip, m) Bip,))t) m Bip, m) m ,

Bit/, /«) Bq-hi,m) q B\<i,)n) q^^

— 1F>3 - Conséqueniment, il reste à vérifier que

OU que

r „i p — q m [m — 1 ) ifi—cf) W~(l + ^) . . . 1

r ,„i,j^/ ^„^ - 1 ) in, - -2) (p-q){P - ^/ + 1' .. ...1 ^.^^

Le premier membre de cette égalité peut être écrit ainsi ;

Or,

{p-q)(p-q + l) ,, /LZLi

ji -+- 1

et , en généra! ,

~(/;+l)(/; + 2) ... ^p + i) (/; + i)(/-) + 2) ... IP + 2 + 1)

- ISi -

La relation (6) est donc identique.

IV. Dans son savant Mémoire sur les intégrales définies eulériennes, Binet démontre une formule équivalente à :

^P,m) ^ ^ p—q m ^ ip-q){p—q-i) w(m + l) ^^,,

B(q,m) 1 m-hq 1.2 (w+</)(w-f-</4-l)

Par le changement de p — q en m , de m en y — q , et de ^ en m + </ , celle-ci devient

li{m+q,p—q) mp-q , m{m—l) {p—q){p—q + \)

d'où, à cause de la formule (A) :

ce qui est précisément l'équation (3). Ainsi, le Théorème d'Euler donne l'une des formules (A), (A') au moyen de l'autre; et, réciproquement, ce théorème est une conséquence des deux formules.

V. La formule (A) permet de développer, en séries convergentes , l'intégrale eulérienne de première espèce et son inverse. En effet, si l'on suppose q entier,

donc, par le changement de m en q et de q en wi :

VK( s l-2.3... (w-l) r flP-'>^> q{q-i}ip-m)(p-m+i) 1 ^^'^' q{q+i)...{q-hm-\)l î p ^1.2 ^(^+1) "J

— lo3 —

771 est un nombre entier arbitraire. Si, par exemple, ?«= 4 :

De môme ,

__l p(p-hi)...{i)-hm-l)r ym—q ^ p{p—i){m-q){m-q+]) 1

Bip,q)''i.'2.'d...(m — i)l 1 m 1.2 m (m + iï "j

1 \, , Pfl-"^ . P in - i) [q - 'i) [q - "2)

"hî'^-'-T^'^^=nr^'----]"^'-