VI. Le premier membre de la formule (A) égale TT-p-pj—--r

Si l'on suppose;? = q + i,i étant un nombre entier, ce premier membre se réduit à

{m -hq){m +q -\-i) . . . [m + q + i — i) Conséquemment ,

Par exemple ,

= 1 7 + r ^:;t^ ^ — ■ — —rn — -^, ■^+---i){^)'

(*) Cette formule est due à Stirling.

YII. Parmi les applications de la formule (A), l'une des plus intéressantes me paraît être le développement de - ou de - , en séries convergentes. Pour obtenir une infinité d'expressions de la première transcendante, il suffit de supposer

(} entier, p ~ q ^ i -^ z-,> '" + ^/ = ' + q '

/ et ï étant des nombres entiers. On trouve , en elfet , 1 • ^2 ■ 3 ■ ■ . U/ - 1) 1.2.3 ■ ■ ■ U+i") \

"=(!,) (3)... r^i±ii^'i (i)(i)...{^) 1^^^

r mp — q mini — i)ip — q){p — Q + ^) ]

^L TT'^ 1.2 p{p + \) ■■'J

Soient, par exemple,

on a

De même, en prenant

\, entier, q - p -- i + - , w + p = i' + ^2

on trouve

r mp — q /»U»^1) (7^ — </) W> - '/ + ') ] \

Soient

alors

l=-(5^(ôfW.-¥-a)'-'- <>-'•

VIII. La formule (L) équivaut à la proposition suivante, que l'on pourrait interpréter géométriquement : La somme

des carrés des termes du développement de ^/2 = (1 + !)«', éaale - .

IX. Plus généralement, puisque la formule (A) est la traduction de l'équation (1), celle-ci subsiste en même temps que la première. Par conséquent : soit k un nombre entier, positif ou nul ; soient l'> k,l' '>- — 1 : le coefïicient de x\ dans le produit des deux séries

, V lit- i) , /(/-1)(7-2i , ^ "^ ï '"^ TT" ■'" -^ 1.2.3 ' ^

est égal à

r (/' + /t + nr (/-/,■ + i)

; *) Comme une cle ces séries est nécessaii-emem divergente, il est Ijieii entendtî

que i expression ; coefficient de ^ dans le produit , signitie : ia nomme des produits des termes d^ins lesquels la som/me des e.rposan's égale k.

Par exemple ,