X. Considérons les deux séries

pour .jc = 1, la première se réduit au développement (L). On trouve aisément les équations différentielles

;..(^^)'(.), a, = [.Hi

dans lesquelles les aecents indiquent des dérivées (**). Si donc la Ibnelion z- était connue, nous aurions

y = l + I — ;- / 'JLzdx

*j Laplace avait remarqué l'équation

1 + l'iV ■ ^^ <' ~ ^'^' ■ ^ r (2 ? + 1)

mais sa démonstration (rapportée par Lacroix) suppose 1 entier positif. (*') L'intégrale générale de l'équation (9) est

(Journal de Mathématiques , tome XIX); mais cette formule n'est pas nécessaire à l'objet que nous avons en vue.

On sait (*) que

"i^ / V i — x^ sin' d'où résulte

puis

i I^Jl- / i:^/i l i--x«sm*9) (10)

Posant

j'obtiens

sin 0

lï ^=^ ~

sincp

^'siniorfO

y*iL^(.-v/, -,..„.,) =ysi„e.e y ^^^^

Voir, par exemple, la Mécaniqut de Poisson, tome I, p. 34(5.

/ -— (l — l^î — '^' sin' cp) = 1 — cosô + 2I cos -

Par suite,

r / sin' (pi 2 J

et enfin , par un calcul plus long que diftîcile,

'2 I nf©\/l— .r-sin'(p— (1— .f^)

Telle est, sous forme d'intégrale définie, la somme de la

série (6). Pour ^ = I , // se réduit à - ; ce qui devait être.

XI. Dans la formule (B), changeons p en m et m en q : il en résulte

m — p q im —p){m — p -^ \) (j {q — ï) 1 \

m — p q un — p) (»i — /; + 1) q Uj — 1)

wim — I

Si , par exemple ,

- loi

alors

XIl. Écrivons ainsi la formule (A) :

B {p, m) m q ~ p m {m — i} ig — p) (g — p — 1) B (g, m) ~ ^ r p '^ 1.2 p(p+i)

En y remplaçant p par q ei q par p , puis en multipliant membre à membre, nous aurons

Fi »' (} — P, m {m — 1) (<7 — p) {g — P-i) 1

r /« p - r/ ffl (?» - 1) {p - g) {p -g- \) 1

Cette relation remarquable, qui n'est peut-être pas nouvelle , peut être déduite de la formule (M) par un changement de lettres. Elle donne, par exemple,