XIII. Soient, dans la formule {X

/ étant un nombre ciilicr. Le premier membre devient

^'''^ê) J'(' + iL 1 • -^ ■ 3 . . . (/ -f- 1) 1

"(^-l-rT'I-il [i-M ■ ^T

~ ** fl . 2 . 3 • . . t2/ + 1)1* ::

et le seeond membre :

. /2/ + li* t2i + i 2i-lr /2/4-1 2/ -2 2t-3\'

donc

ï - (r'H4fcf^ï.^(^v-f^ ■ ^-^T->'

On a ainsi une infinité de développements de la transcenformule (L) en donne un.

XXXVlli. — THÉORÈME d'aXALYSE (18o8).

dante - : la formule (L) en donne un

Soient

f{x) = a, cosj; + u^ cos "Ix i • • • + a„ cos nx ■\- • • -, (1) <p {x) = b, cos.r r b.,cos2x +■ • ■ -4- /;„ cos «a; + • • • (2)

deux séries convergentes. Je dis que

a,lh+a.J\+ . • • + uJ)„-\- • -^ z I fi-i^)<r^{x)dx {') (3).

(*) Ce théorème , énoncé d'une manière un peu différente, est connu sous le nom de Formule de Parsei^al. Mais la démonstration donnée par ce géomètre est inadmissible ; car elle suppose l'emploi des deux séries a, + aj « + a, Z^ -f- • • • :

et, si l'une est couver|iente , l'autre est ordinairement divergenio,

— i63 — En effet,

/'(x) cp (x) = V a^^ b^^. cos nx cos ?i'x -*- T^ û„ ^^ cos' «x ;

donc

/ f{xy^{x)dx^^jib ^^ I coiirixcom'xdx+y]aJy^ j cos'nxdz;

OU, d'après les relations

COS nx cos M'.r f/a; = 0 , / c

ces' «ce dx = -

/■(.<.•) 9 (x;rf.c= iJl ^'*^'' •

Application. Si l'on part des deux formules connues

r-^ an 1 I

. , cosx cos:2x cos 3 a; 1 = r— , +

2aM ' ^"'^ a-""" 1+ft' 4+fl' 9 + a*

on a

(H-«T {i+u'f {9 + crf

(*) Traité élémentaire des séries , p. 115,

on

( 1 + a'f (4 + fry ' (9 + a'f ( e —e ) — a-{e —e } — a* ~'[e + e j

2rt* [e —e

Lorsque a = 0 , le second membre se l'éduit -d—'*;

donc

JL i i l -L*.

résultat connu.