I. On sait que

ç(«) s'annulant quand n devient infini, et C représentant une constante dont la valeur, calculée par Euler et Mascheroni, est

C = 0, 577 2i5 664 !»0I 532 800 .... En remplaçant \n par

on a

Soit

d'où

et

.ce

dx I . a

(«)=C-1+ / -^l-^^rzi)^^ "-' '^ ^^^•

Cela posé , en appliquant mol à mot la méthode employée par M. Liouville dans sa ISote sur ï' évaluation du produit 1 . 2 . 3 ... cl-, on trouve

, X i vil

~ 2/? ' i)i Mn

et , par conséquent ,

T+ô + ïï + ■■• + -> ^" + .^ — 77r-- + ^ "^ •

12 3 n "Dt 12/i-

Les formules (A) , (B) donnent ainsi deux limites entre lesquelles est comprise la somme S„ des n premiers termes de la série harmonique. Si l'on fait n = 1000, on trouve

Ce résultat est d'accord avec celui que donne Lacroix.

II. La série dont le terme général est n,. est convergente (*). D'après le § I , elle a pour somme

III. La série harmonique est très-peu divergente, puisque la somme de ses mille premiers termes est à peu près 7, 5; mais la série dont le terme général est — diveriïe encore

bien plus lentement. En effet, si l'on suppose

2l2 àid nhi

et

on trouve facilement

OU , par ce qui précède ,

Soit

auquel cas

(*) Comptes-retiOus , tome XLIII, p. 627.

nombre de trois cent deux chiffres. Les formules (C), (D) donnent

Ainsi, bien que la série considérée soit divergente, la somme de ses premiers termes, jusqu'à un rang marqué par un nombre de 302 chiffres, est inférieure à 11. On arriverait à des résultats encore plus curieux si l'on considérait la série divergente

-21^2(112) al3(ll3) nh{\h]