IV. Ecrivons ainsi les formules (A), (P

Nous aurons, en changeant Ji en i2,'/ : et, par conséquent :

^--ù-ià-"- "■■'- "■■■ < '- - è + îs;-

Ainsi, la somme des n termes qui, dans la série harmonique, suivent les n premiers, est comprise entre

12 et l2 H . — .

■in iSu'- in 12;/'

De là résulte

lunl + . 4- • • .-!-—-= 12( ).

{' ) Voyez, sur ce point , le tome XV des Xot'veUes Annales de Mathématiques et le Traité élémentaire des Séries.

\L. — SIK UNE FONCTION UOMOGÈNF: KNTIÈRE (1858) (").

Plusieurs géomètres , parmi lesquels il sulliL de citer MM. Gauchy , Bertrand et Serret , ont indiqué divers procédés qui permettent d'évaluer la fonction

/■' (rt) r ib) r il)

au moyen des coefficients de l'équation f {x) = 0, dont a, /^ c, . . . , /;:, / sont les 7i racines (supposées inégales); mais personne, que je sache, n'a fait attention à lidentité de cette fonction symétrique fractionnaire avec la fonction homogène entière, du degré p :

II = Va'' b^ c'

Cette identité résulte de la proposition suivante :

THÉORÈME. — Soient a , b, c , . . . . , k , 1 des quantités quelconques, inégales ; et soit , pour ahrérjcr ,

La fonction, entière et homogène^ des n lettres a, b, c, . . . k, 1, dont p est le degré, est égale à la somme des valeurs que prend

la fraction " , , - quand on y remplace x par a, b, c, . . . , k, I. En d^ autres termes ,

a- l/' c' - l'- = Vt- + -^^7777^ + - + Vr- d^' fia) /'(/>) /'(/i ^

(*) Cette Note a paru dans les Comptes-Iinidiis

les exposants y., 5, y, . . . , /., entiers et non négatifs, étant déterminés par l'équation

cK-h^-{-y...+l = p (2).

Pour démontrer l'équation (1), qui devient identique si n égale i ou 2, il suffit de faire attention que

n,p H— l,jj n — 1,^—1 « — l.p — i n — 1, 0 f

et d'avoir égard aux relations connues :

r (a) '^ f'ih)'^ ' ■ "^ f (/) ~ •

COROLLAIRE. — SiVoumultipHe la fonction H , qui renferme C . , termes , par

P — {a~ b) ia — c) . . .[a— l.)X ip - odi -</;... i> — /) x ... x [k. — /),

le produit contiendra seulement n termes. Par exemple ,

u/' + ir' -t- c^ -+- a-b + n'r + h'a + //c 4- rV/ -f- c'b + r;/>t'; X ia — /m (« — Cl ip — t?) = cr (7' — C) -H /)' ((• — ^0 -i- C' \a — b).

Remarques. — I. Le dernier énoncé suppose que l'on ne développe pas les produits qui multiplient a"^'"^ , h'"^''^ , c"^''' , . . . , /'^' . Dans le cas contraire, la fonction 11^ p

prend ia forme