XLI. — SIR LKS SUP.FACKS CYCLOTOMIQUES

I. DÉFINITION. — La surface cijclotomique est engendrée par une circonférence de rayon variable , dont le centre 0 est fixe, et dont le plan passe par une droite fixe Oz (****).

II. Équation delà surface. — Ox, Oij étant deux axes perpendiculaires à 0:^, soit M un point quelconque de la surface, situé sur le méridien GMH (*****). Posons

OM = u , MOG = 0, fxOa: - ro.

11 est clair que w est une fonction de m ; donc nous pouvons

(*) Cette remarque cjate de 1858 ; mais elle est inédite.

('*) En général , le reste de la division de F (.r) par f (x) est

['*') Cette dénomination, très-bien choisie, m'a été proposée par M. de Saint- Venant.

(****) Le lecteur est prié de faire les figures.

(*****) Le point G est supposé dans le ]iian tOi/ . et le point H, sur Oc : GMH est donc un quadrans du cercle générateur.

prendre, pour équation de la surface, soit

soit

lïl. Normale. — Il est visible que la droite MN, normale en M à la surface, rencontre Vaa'e 01 du méridien GMIï : cet axe est d'ailleurs la perpendiculaire à OG , située dans le plan xOy.

IV. Trajectoires orthogonales des sections méridiennes. — Considérons le cône de révolution engendré par OM tournant autour de 0^, et projetons la figure sur le plan méridien GMII. La tangente MT, à cette section, est normale au cône. D'un autre côté, la normale à la cyclotomique est projetée suivant MO (IV). D'après un théorème connu , ces deux droites sont perpendiculaires entre elles ; donc le cône coupe orthogonalement la surface. La tangente à l'intersection PMQ est perpendiculaire à MT, ou normale à GMH; donc /es trajectoires orthogonales des sections méridiennes sont les sections de la cyclotomique par des cônes de révolution autour de Ox (*).

V. Équation des trajectoires. — L'équation {!), qui représente la surface, représente aussi la directrice , supposée située dans le plan xy. Si nous appelons /■ la projection de OM sur ce même plan , nous aurons

r — V cos 9 , ou

/■ = cos 9 /■(«■) (3).

Par conséquent, les trajectoires orthogonales des sections

(*) Déjuonslraiion nouvelle (lévrier 1867).

méridiennes se projettent , sur le plan de la directrice , suivant des courbes semblables à celle-ci.