VII. Elément delà génératrice. — Il a pour valeur

du = »f/G (7).

VIII. Élément de la trajectoire. — Eu désiguaut par o- la lougueui' de l'arc PM, comptée à partir d'une certaine orii^-ine, ou a, par les relations (6) :

d7 = \/du' + /rcos- Gflfw* (') (8).

IX. .!/////<' du rayon vecteur arec la tangente à la Irajecloire. — Soient 3:, ,6, 7 les angles formés par cette tangente avec les trois axes ; soit À son inclinaison sur le rayon OM. Ou a

cos

t, — - CO.S a + - cos p + - cos 7.

I *) Cettt! Ibnaule devient évidente, sans ciilinil, si l'on considère le dévelopj)^ iiifnt du c'ùne de réviilntion.

Mais

il X d T , </ Il dç dx, di

cos y. = -—:__, (jos p = -^ : — - , oos y - -r : -7- ;

donc , à cause des valeurs (4) et (6) :

OU, avec la notation de Lagrange,

C'OsX = — (9) ;

et, par conséquent,

. . u cos G ....

sin/. = ; — (10).

X. Distance de V origine au plan tangent. — Il est visible qu'elle ne diffère pas de la distance h comprise entre l'origine et la tangente à la trajectoire ; donc

h — u sin 1 , OU

h = iq^ (11).

XI. Aire de la surface. — On peut prendre , pour élément de la surface , le rectangle infiniment petit déterminé par deux sections méridiennes et deux trajectoires. Ainsi

dk = ds da , OU

dk = udJjd'A V "'■' + ?/'■ cos'& (12).

- 17Ï — L'aire tolalc est donc cxpriniée par la formule

A = ll r/G / u(k.i Y'u"- + ir cos'^ 9 (13).

XII. Voliune. — Ke corps liinilé par la surface cyclotomique se compose de pyramides infiniment petites, ayant chacune pour base un élément de la surface, et pour hauteur, la perpendiculaire h. Par conséquent,

d\ = - u^ cosô dO doi ,

V =-- - / eus Cv/0 / ;/ rfy

ou , plus^simplement ,

XIII. Remarque. — D'après la dernière formule, Yonglet compris entre deux demi-méridiens consécutifs a pour volume

r li f/(o. Cette expression représente aussi le volume de l'onglet appartenant à la sphère dont le rayon serait «. En effet , la différence entre ces deux éléments est infiniment petite par rapport à l'un et à l'autre.

XIV. Application. — Supposons que la directrice soit une circonférence de diamètre a, située dans le plan des a;?/, et passant par l'origine. L'équation (1) devient

u = a cosoj (15) ,

et l'équaliou (2) :

{x^- + if- + z'-) {X' -f )f) = a\r (16).

Dans ce cas, la siirlacc cyclotomique est donc du quatrième degré. Elle se compose de deux nappes fermées, symétriques par rapport à la droite Oz, ligne de contact mutuel (*).

Le volume de cette cyclotomique circulaire est, par la formule (14) :

COS'rof/M,

ou plutôt

et enfin, par un calcul très-simple,

Ainsi, chacun û.qs doubles-cornes dont se compose le corps

dont il s'agit, est les - du cube ayant a pour arête.

(/) Jugeant qu'il ne serait pas facile, au moyen d'une rigure, de représenter rouvenablement cette singulière surlace, M. de Saint-'\'enant a eu l'oblig-eance de m'en l'aire exécuter un modèle.

{"') La trace de la surface, sur le plan ,ry, a pour équation

u ^^ :iz a cos w ;

mais , si l'on adoptait la double valeur de u , on trouverait V = 0. ()n doit donc chercher le volume limité par l'un des nappes, et doubler le résultat.