XVI. Déter7nination d'une intégrale définie. — Soient

x*dx

(1 + a;^)' (1 - a;') ' et, par conséquent,

P = iQirrl' - / Q f (21).

On a identiquement

X* lit 1 II 11

^ 1 , l + rr 1 , I / dx

puis, comme on peut le vérifier ,

o==ll '+^^ ' ■"

8 \—x i \+x^ Par conséquent,

Ql^ = ^hKl + ^)- ^l^IC»--^)- ^7^1-^ (22),

dx i j dx A-hx 1 / dx 1 y (/.r l+.r tt ^~x~8 I 'x^\-x~~^l \-hx'~s/ X ^ i-x IG"

En développant 1 • , on trouve aisément

ainsi

/ dx , \+X __ 7T*

Il reste à déterminer la différence des valeurs que prend la fonction Qlx pour ^ = 1 et pour x = 0.

Les termes Ixl (\ + x) ei : Ix , nuls lorsque x — \ ,

s'annulent encore avec x : en effet, xlx = 0 pour a: = 0. Quant au terme Ixl {\ — x), je dis qu'il est nul aussi aux deux limites : comme il est symétrique par rapport à a? et 1 —x^ il suffit de vérifier qu'il s'annule avec x. Or, si Ton fait x = e~\ on a

6 étant compris entre 0 et 1. Lorsque % augmente indéfiniment , la fraction tend vers zéro , etc. En résumé , la formule (21) se réduit à

ou

X*dX 1 71 TU»

et, en conséquence,

A = Tr»a= (25).

XVn. Autre intégrale. — D'agir es les formules (19) et (25) :

^ cos'

£ff.el..(|.|) = ^(|-.)n (.6,.

(* ) Cette valeur résulte aussi de deux intégrales rapportées dans les Tables de M. Bierens de Haan.

XVIIl. Remarque. — Si nous écrivons ainsi la formule (18):

fi n

A = 8a* / coswrfft) / rf9[/l— cos'wsin'G ,

et si nous employons la notation de Legendre, nous aurons ce résultat curieux :

E* (cos w) cos w rfw = - (27).

XIX. Cydotomique à directrice rectiligne. — Si la surface coupe le plan des xy suivant une ligne droite, les trajectoires orthogonales des sections méridiennes se projettent, sur le même plan, suivant des parallèles à cette droite (§ V). Gonséquemment , ces trajectoires sont des hyperboles.

XX. Remarque. — Les deux surfaces que nous venons de prendre comme exemples sont réciproques l'une de l'autre. En effet, leurs équations sont

u = , u, = a cos Cl).

cos to

LXIl. — SUR LA THÉORIE DES ROULETTES (1858) (*).

I. Soit une courbe DCM , roulant sur une droite fixe EF. Pendant le mouvement , un point quelconque A , invariablement lié à la courbe roulante, décrit une roulette AA'B. On sait que, pour tracer celle courbe par poinls, il suffît de construire la tangente MT en un point quelconque M de DG , et de prendre

CM' - arc CM, FM'A' = TMA, M'A'

MA

A' est la nouvelle position du point A. De plus, M'A' est la normale , en A', à la roulette.

Cela posé , au point d'inflexion I de celte courbe , l'angle A'M'F devient maximum ou minimum; donc il en est de môme pour son égal AMT. Ainsi :

Pour trouver le point d'inflexion I de la roidette décrite par le point A, cherchez, sur la courbe roulante DCM, le point K pour lequel AMF est maximum ou minimum : I correspond à K.

lî. Dans le cas où la courbe roulante est une circonférence 0, le point K, comme on le voit aisément, est situé sur la parallèle à EF, menée par le point A.

Par suite, la tangente en I est la nouvelle position D'O' du

rayon DO.

III. Si le point A se déplace sur OD , le point d'inflexion I se déplace aussi : le lieu de ce point est l'enveloppe du

(*) Cette Note peut être considérée comme faisant suite à celle qui a paru dans les NouveUes Annales de Mathématiques (tome XV, p. 102).

diamètre CD, c est-à-dire la cycîoïde décrite par le point C, considéré comme appartenant au cercle dont CO serait le diamètre (*). Cette courbe enveloppe les cycloïdes engendrées par tous les points de CD.