IV. Soient

AM = u, CAM = (ù, arc CM = S, arc AA' -- a, AMT = V.

Représentons encore par p le rayon de courbure de AB, au point A'. On a (**)

dscos\=du, fissinV = udw =fl + -]da, tgV= — , — = dY.

\ P' du p

De là résulte

da — u {d(ù — dY).

Or,

donc

puis

V = arc Ig - ;

u'*—uu"

dy = — T du (i) .

u + u" de - w' — — — - doi (2) ,

V. Soit A l'aire de la figure CAA'M'. A cause de A'M' = AM = u , A'M'F = AMT = V ,

(*) Géométrie descriptive de Leroy, p. 391. [") Voir la Note citée.

dA = -[(p + n)'-pM,

ou , par les formules (1) , (3) :

dk = -u

La fracLion contenue dans le second membre égale

donc

u'^ — un''

dk = u* d(ù — - u' rfV.

Par conséquent , si l'on fait

if if

wV/V - G ,

on a

B est l'aire du secteur ACM. Quant à l'intégrale G , elle représente l'aire de la courbe obtenue en menant, par A, des droites égales et parallèles aux normales A'M' (*).

VI. Considérons le cas général d'une courbe ACB roulant sur une courbe DCE et entraînant une ligne FPG. Soient PC, MN, M'N' des normales à FPG; soient mn, m'n' les nouvelles ^ positions de ces droites.

La ligne 7nn , normale à la trajectoire du point M (§ I), est

(*) Il semble , d'après la formule (7) , que A ne peut surpasser 2B ; et le con- ' traire a lieu sur la figure. Mais , comme l'angle V augmente ou diminue avec u, les éléments de l'intégrale C peuvent être négatifs aussi bien que positifs : dans le cas actuel, ils sont négatifs ; et la soustraction indiquée devient une addition.

normale encore à la nouvelle position de FPG. Donc celte ligne FPG, quand elle est entraînée par AGB, touche successivement, en?,?», m',... les trajectoires de ses différents points P, M , M ,... Ainsi , non-seulement la courbe Y^mm' est l'enveloppe de FPG (théorème connu), mais encore cette courbe Pmm' est l'enveloppe des trajectoires de tous les points appartenant à FPG. Autrement dit : Quand une courbe AGB roule sur une courbe DGE, en entraînant une ligne FPG, Venveloppe de celle-ci coïncide avec l'enveloppe des trajectoires de tous ses points.

VII. Si, rendant la courbe ACB immobile , on fait rouler DGE sur AGB , FPG deviendra l'enveloppe de Vmm' et des trajectoires des points P, m, m',... En particulier, lorsque la ligne FPG se réduit à un point P, la ligne P?wW, dans toutes ses positions, passe par ce point P.