XLIII. — LIEU GÉOMÉTRIQUE

PROBLÈME. — Quel est le lieu des sommets des paraboles tangentes aux côtés d'un triangle rectangle isoscèle ACB (*) ?

D'après le Théorème de Simpson, si l'on décrit, sur l'hypoténuse AB comme diamètre , une circonférence AGBD ; que l'on prenne un point quelconque F de cette circonférence ; que l'on mène FP perpendiculaire à GA, FQ perpendiculaire à GB; que l'on trace la droite PQ; enfin, que l'on abaisse FS perpendiculaire à PQ : S est le sommet d'une des paraboles tangentes aux côtes du triangle donné.

Prenons GA, GB pour axes; désignons par a, P les coordonnées du foyer F, par x, y les coordonnées de S; et soit a la longueur commune des côtés GA , GB. Les équations du problème sont

(*) Le lecteur est prié de faire la figure.

Afin de les simplifier, posons

c/. — À cos 0, (3 = /. sin B :

l'équation (3) donne, immédiatement 1 = a (cos 6 4- sin G).

Par suite, les équations (1), (2) deviennent

X sin 0 + y cos G = a sin 9 cos G (cos 9 + sin 9) , xcosB — y sin G = a (cos' G — sin' 0) (cos G + sin G).

On tire , de ces dernières ,

X — a (cos G + sin G) cos^ G , y = a (cos G -+- sin 9) sin' 6 ; puis

x'' + y'' = a"(cos9 -H sin 9)"' , x'' + y' = a'' (cos G + sin bf'

et enfin

(a;' + y') = « (a'" + yl (A).

Telle est l'équation du lieu. L'emploi des coordonnées polaires la transforme en

cos" 0) + sm" w w = a — (B).

(cos"'oj + sin^oo)