X -h IJ + Z -+-... ~ V

! siii V

F{v)=J dxdy dz . . . ,

Cl que, dans cette intégrale multiple, les variables vérilient

l'inégalité

X + y + z + . , . ^ i\ Or, par la Formule de Diriclilet (Note IV),

I' [V) = rrr-, —rr »

donc

ï (n) I sin V

AddUiou. — (Septembre 1865J.

Si u= '[ , l'intégrale est infinie.

Si « = 2, B, = / 2 -r;^ = / 2 1 tg ± (v) rf i, ;

OU , en supposant tg | î; = w

Dans le cas général , la détermination de l'intégrale simple dont dépend B^^ paraît exiger l'emploi de séries compliquées (**).

vu. — SUR LA PARTITION DES NOMBRES.

PROBLÈME. — Trouver le nombre N des solutions entières positives de Véquation

dans laquelle s est un nombre entier donné.

La solution résulte immédiatement de ce que l'on a vu dans la Note I. Kn eiïct, l'équation ci-dessus peut être écrite ainsi:

{X, — 1) + {/x,~\) + . . . + {Xn — \)-^s— n;

(*) Mémoire sur la Tro.ns[ormalion des séries et sur quelques intégrales déftnics. (Académie de Belgique, ,Sava7its étrangers ,iomeXXXlU.)LsL constante G,

égale à la somme de la série 1 — i +'nr — 4V"^8T — ^ ^'^^^ ^^'

leur 0,015 965 594 177 21 . . v

(*•) Bierens de llaan , T. '239.

Donc le nombre N des décompositions de la somme s — n en 11 parties positives , est égal au nombre des décompositions de s — n en n parties milles ou positives (*). Donc aussi, d'après la formule de la page 3,

\ = r ^ (.^ ~ i)is ~ 2) . . . (s — n -i- i) s~i,n~.i 1.2.3 : (n-i) '

Addition. — { Septembre \8&^).

Dans le développement de

{a -h b -^ c + . . . + ky ,

le nombre des termes contenant une seule lettre est, d'après la formule précédente,

n désignant le nombre des lettres a, b , c, . . . k. De même, les termes conienani deux lettres sont en nombre

et ainsi de suite.

Enfin, parmi les termes du développement considéré, le nombre de ceux qui contiennent les n lettres est

C xi.

D'ailleurs , le nombre total des termes est , comme on l'a vu dans la Note I,

C) Il est bien entendu qu'il ne s'agit pas ici des décompositions essentieUement différentes : 3 -{- 2 et 2 -f- 3 sont considérées comme de^^x décompositions du nombre 5.

On a donc la relation suivante, qui peut être démontrée directement :

Par exemple , si p = l'2 et n = 5 :

0 li> .s. 4 12.11 5.1 12.11.10 5 12. 11. 10.0

ce qui est exact.